Вопрос о производной четырехмерного потенциала

[poiuytr]

В электродинамике антисимметричный ковариантный тензор электромагнитного поля записан, через частные производные $\frac{dA_i}{dx^k}$ . Вопрос, почему дифференцируемая функция ${A_i}$ взята в одном базисе (ковариантном), а ее аргумент ${x^k}$ , по которому производится дифференцирование, взят в другом (контравариантном) базисе?

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Sicker]

базис один, контрвариантный, а это ковектор в контрвариантном базисе

[Munin]

Просто по желанию. Тогда получается тензор 2 ранга с двумя нижними (ковариантными) индексами $F_{\mu\nu},$ для которого удобно говорить о том, что он антисимметричен ($F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}$). А если бы индексы были разные, то это было бы более неудобно выражать. (Кстати, полезное упражнение для начинающих: как?)

Поскольку в пространстве Минковского есть метрика и всегда готовый к употреблению метрический тензор, то никакой существенной разницы нет, всегда верхний индекс можно переместить вниз, а нижний наверх.

(Замечание по буквам индексов. В ЛЛ-2 используются для пространственно-временных 4-мерных индексов латинские буквы, а для чисто пространственных 3-мерных - греческие. И в некотором количестве учебников рангом пониже - тоже так, по примеру Ландау. Но современное общепринятое соглашение во всей физике - ровно наоборот. Так что, лучше к нему привыкать сразу.)

-- 12.10.2014 21:49:22 --

Sicker
Про ковектор в контравариантном базисе можно сказать и так, что это вектор в сопряжённом пространстве, и соответственно, в ковариантном базисе этого сопряжённого пространства. Разницы нет.

[poiuytr]

Спасибо за ответы! Понятно, что взят ковектор в контравариантном базисе или вектор в сопряжённом пространстве. Понятно, что индексы по желанию и для удобства с помощью метрического тензора можно перемещать наверх или вниз. Можно записать четыре антисимметричных тензора: ковариантный, контравариантный и два смешанных. Каждый из них, можно преобразовать в другой с помощью метрического тензора. Но какой-то из них, наверное, нужно сначала принять за базовый из физических или математических соображений? Или такие соображения здесь не причем? Логически рассуждая, выполняя дифференцирование, приращение функции и приращение ее аргумента я стал бы брать в одном пространстве, а не в сопряженных, а потом бы уже манипулировал индексами и метрическим тензором. Т.е. я за основу выбрал бы смешанный тензор исходя из математических соображений. Тем более, что при нахождении 4-дивергенции дифференцирование также производится в одном пространстве, только индексы берутся одинаковые.

[Munin]

poiuytr в сообщении #918627 писал(а):

Можно записать четыре антисимметричных тензора: ковариантный, контравариантный и два смешанных. Каждый из них, можно преобразовать в другой с помощью метрического тензора. Но какой-то из них, наверное, нужно сначала принять за базовый из физических или математических соображений?

Нет. Можно записать, конечно, $F_{\mu\nu},F_\mu{}^\nu,F^\mu{}_\nu,F^{\mu\nu},$ но поскольку пространство (псевдо-)метрическое, то их различать между собой нет никакой нужды. Это в геометрическом смысле один и тот же тензор. И поэтому, брать какой-то из них за базовый незачем. Удобно брать один из $F_{\mu\nu},F^{\mu\nu},$ чтобы записать условие антисимметричности (а вы упражнение выполнили?).

poiuytr в сообщении #918627 писал(а):

Логически рассуждая, выполняя дифференцирование, приращение функции и приращение ее аргумента я стал бы брать в одном пространстве, а не в сопряженных, а потом бы уже манипулировал индексами и метрическим тензором.

Да, так и делают. И в результате получают, что $\dfrac{\partial}{\partial x^\mu}=\partial_\mu=\ldots_{,\mu},$ то есть, оператор дифференцирования по $x^\mu$ (контравариантному вектору) - сам по себе есть ковариантный оператор, и добавляет к величине один ковариантный индекс. Надеюсь, этот момент вы разобрали хорошо?

poiuytr в сообщении #918627 писал(а):

Тем более, что при нахождении 4-дивергенции дифференцирование также производится в одном пространстве, только индексы берутся одинаковые.

4-дивергенцию удобно рассматривать как 4-градиент, а потом свёртку. Тогда вас не будут отвлекать частности (для свёртки индексы расставляют по разным углам, в частности, лапласиан приходится записывать как $\partial_\mu\partial^\mu=\partial^\mu\partial_\mu$).

[warlock66613]

Munin в сообщении #918660 писал(а):

Нет. Можно записать, конечно, $F_{\mu\nu},F_\mu{}^\nu,F^\mu{}_\nu,F^{\mu\nu},$ но поскольку пространство (псевдо-)метрическое, то их различать между собой нет никакой нужды. Это в геометрическом смысле один и тот же тензор.

Иначе говоря, поскольку метрика обеспечивает нам изоморфизм между пространством тензоров с верхними индексами и пространством тензоров с нижними индексами и ещё двумя смешанными, то простраство по-факту одно, и тензор, как сказано выше, один.

[poiuytr]

Понятно. Спасибо всем! пошел упражняться

[poiuytr]

Еще возник вопрос. Находим градиент скалярной функции f в контравариантном базисе ${A_µ}=\frac{\partial f}{\partial x^µ}$.
Должны пространственные компоненты 4-ковектора ${A_µ}$ иметь знаки минус или нет? Т.е. ${A_µ}{(A_0,-A)}$ или ${A_µ}{(A_0,A)}$

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #918660 писал(а):

а вы упражнение выполнили?

Мы выполнили (мне как раз полезно — пока тензоры так и не применял ни к чему ещё): $F_\mu{}^\nu + F^\nu{}_\mu = 0$, либо, с тензорами только одной валентности, разумеется, тогда $F_\mu{}^\nu + g_{\mu\mu'}g^{\nu\nu'}F_{\nu'}{}^{\mu'} = 0$. Так?

[Munin]

Я чисто процитирую ЛЛ-2:

$$A_\mu=(A^0,-\mathbf{A}),\qquad\dfrac{\partial\varphi}{\partial x^\mu}=\Bigl(\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t},\nabla\varphi\Bigr).$$

Можете по этим формулам сами разобраться? Считая, что величины $A^0,\mathbf{A}$ являются трёхмерными скаляром и вектором, и от 4-мерного базиса уже не зависят.

-- 16.10.2014 00:06:52 --

(Оффтоп)

arseniiv
Обе формулы правильные, подразумевалась вторая.

[poiuytr]

Печально для меня, но как раз по этим формулам и не разобрался, по ним и был мой вопрос, но видно я его коряво задал. Попробую переформулировать. В первой формуле пространственные компоненты 4-ковектора имеют знак минус. Я полагал, что так должно быть всегда, и знак минус это непременный атрибут пространственных компонентов 4-ковектора. Но во второй формуле эти пространственные компоненты знака минус не имеют. Это и озадачило и резало глаз. В ЛЛ-2 на с.35 в сноске есть еще одна формула для контравариантного вектора ${A^µ}={({\partial_t \varphi},-\nabla \varphi)}$ в которой знак минус присутствует у пространственных компонентов контравариантного 4-вектора.

[warlock66613]

poiuytr, а вы посмотрите внимательно, в чём отличие тех случаев, когда знак "неправильный".

[Munin]

poiuytr в сообщении #919644 писал(а):

Я полагал, что так должно быть всегда, и знак минус это непременный атрибут пространственных компонентов 4-ковектора.

Это рассуждения на уровне "знак минус - это непременный атрибут глубины". Ну с чего бы? Пусть в одном месте обозначено $h$ - высота, и глубина 5 метров обозначается $h=-5.$ А в другом месте взяли другое обозначение: $d$ - глубина, и ту же самую глубину 5 метров обозначили $d=5.$ И где тут знак минус? Ищите его днём с огнём - не найдёте.

Пусть мы имеем какую-то скалярную функцию $f,$ и от неё 4-градиент $g_\mu=\partial_\mu f=(\partial_t f,\nabla f).$ Что означает знак минус в выражении $g_\mu=(g^0,-\mathbf{g})$? Он означает, что если мы захотим воспринимать 3-мерную часть $g_\mu$ как векторное поле, мы должны взять его с минусом, то есть, соответственно, $\mathbf{g}=-\nabla f.$ Но для чего это? Для того, что если мы поднимем индекс, то получим соответствующий вектор $g^\mu=(g^0,\mathbf{g}),$ и нам надо не забыть развернуть пространственную часть (отсюда формула в сноске, которую вы упоминаете). А нам это вообще надо - поднимать индекс? Может в жизни никогда не понадобиться. Ну и забудьте тогда про это. Просто помните, что 4-градиент $\partial_\mu f=(\partial_t f,\nabla f)$ складывается из производной по времени, и 3-градиента.

Я, если честно, вообще не помню формулу $g_\mu=(g^0,-\mathbf{g}).$ Потому что я её никогда не использую. Мне не надо возвращаться к 3-мерным векторам для 4-векторов, что контравариантных, что ковариантных. Я всего лишь помню два правила: векторы с разными индексами умножаются "компонента на компоненту", а векторы с одинаковыми индексами - с учётом сигнатуры метрики, то есть три последних слагаемых с минусом.
$a_\mu b^\mu=a_0b^0+a_1b^1+a_2b^2+a_3b^3$
$a_\mu b_\mu=a_0b_0-a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3$
Есть и ещё более простой способ взгляда на ситуацию: вообще писать все индексы снизу, а при умножении (свёртке) использовать сигнатуру метрики. Например, такой способ очень любил Фейнман, и он себя оправдывает в большей части расчётов (СТО, КЭД и КТП, например - трудней только в ОТО) (формально этот способ соответствует тому, чтобы перейти в евклидово пространство с формально умноженными на $i$ пространственными координатами). Можете его использовать в выкладках "для себя", только если преподаватель на зачёт требует всё правильно, то для него пишите аккуратно.

-- 16.10.2014 22:26:12 --

Замечание в сторону. Как проверить и убедиться, что $\partial_\mu=(\partial_t,\nabla),$ а не, скажем, наоборот, $\partial_\mu\stackrel{?}{=}(\partial_t,-\nabla)$? Ответ: применить к ним преобразования Лоренца. Если компоненты будут переходить друг в друга правильно, то мы угадали знак.