Когда дробь целое число

[nnosipov]

Найдите все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых число

$$ \frac{y^2+y+1}{xy+2} $$

является целым.

PS. Это задача с нашей местной районной олимпиады прошлого года, предлагалась 10-классникам. Было бы любопытно узнать, какая она (простая/сложная/интересная/занудная/что-то другое), какие способы решения здесь можно предложить, насколько хорошо она должна решаться школьниками и т.п.

[Gematria]

Числитель всегда нечётный по этому х и у всегда не чётные и если неравны (1,1) (1,-1). То х должен $[math]$х=у + -1$$[/math] , а это не возможно как и за чётности так и за 2.

[nnosipov]

Ничего не понял, пишите разборчивей.

[Gematria]

ближайшее значение х если у положительный$х =у+1$ если отрицательный то -1. Если у обязан быть нечётным то при таком раскладе х получается чётным а нечётный нельзя нацело поделить на чётный. И в ху+2, УУ+У+1. не пройдёт. Разница 1 если х будет больше или меньше чем у=-1 то и разница будет больше.

[Toucan]

Gematria, замечание за неиспользование $\TeX$ при наборе формул.

[mihiv]

1. $x$ и $y$ - нечетные.
2. Обозначим: $P=y^2+y+1, Q=xy+2, Q|P$, поэтому также $Q|(2P-Q)$, то есть $(xy+2)|y(2y-x+2). ( xy+2)$ и $y$ взаимно просты, поэтому $(xy+2)|(2y-x+2)$. Отсюда следует $2y-x+2>xy+2$ и далее $x<2$. Учитывая, что $x$ нечетный, получим $x=1$.
3. Таким образом приходим к уравнению :$\dfrac {y^2+y+1}{y+2}$ или $\dfrac {(y-1)(y+1)}{y+2}+1. y+1$ и $y+2$ взаимно просты, поэтому $y+2$ должно делить $y-1$. Это возможно только если $y=1$.
Следовательно, единственное решение: $x=1, y=1$.

[nnosipov]

Да, всё верно. Довольно естественное решение.

[Shadow]

Я бы тоже решал делением полиномов, но для 10-го класса думаю есть решение только с помощью формул Виета:

$\dfrac{y^2+y+1}{xy+2}=k$. Сводится к

$y^2-(kx-1)y+1-2k=0,\quad k,x \in \mathbb{N}, \quad y_1,y_2 \in \mathbb{Z}$

По формулам Виета:
$\\y_1y_2=1-2k<0\\ y_1+y_2=kx-1 \ge 0$

Положим $y_1>0,y_2<0$.
Так как $y_1+y_2<y_1\text{ и }|y_1y_2| \ge y_1\Rightarrow |y_1y_2|>y_1+y_2$

$2k-1>kx-1\Rightarrow 2>x\Rightarrow x=1$

Дальше уже делением полиномов, ну. Или так.
$\\|y_1y_2|=2k-1\\ y_1+y_2=k-1 $

Если $y_2\le -2$, то из второй формулы $y_1>k$, но тогда $|y_1y_2|>2k$, противоречие с первой.
Или $y_2=-1,y_1=1,k=1,x=1$

[nnosipov]

Да, есть решение с помощью формул Виета, традиционней не бывает. Но я не увидел поэтому официальное решение было другим.

Есть ещё два способа, оба связаны с идеями метода Рунге (естественно, всё элементарно). Один из них хорош тем, что работает чуть дальше --- для дроби

$$ \frac{y^3+y+1}{xy+2} $$

тоже. Позже напишу об этом подробнее, вдруг кому интересно будет и над этим подумать.

Странно, что при таком разнообразии подходов задачу практически никто не решил. Возможно, её надо было предложить 11-классникам, но это уже не от меня зависело.

[TR63]

Shadow в сообщении #918824 писал(а):

для 10-го класса думаю есть решение только с помощью формул Виета:

$\dfrac{y^2+y+1}{xy+2}=k$. Сводится к

$y^2-(kx-1)y+1-2k=0,\quad k,x \in \mathbb{N}, \quad y_1,y_2 \in \mathbb{Z}$

Даее результат, аналогичный Вашему, можно получить без формул Виета.
Т.к. $1-2k<0$, то $y>kx-1$. Тогда $y\ge kx$.
$y^2+y+1=kxy+2k$
$y^2\ge kxy$. $y+1\le 2k$
$kx-1<y\le 2k-1$
$x\le 2$
Поскольку x нечётное, то $x=1$. И т.д.

[nnosipov]

Да, это тоже хорошее школьное решение! У меня было почти такое же. Поскольку $2k-1$ должно делиться на $y$, положим $2k-1=ly$. Затем избавимся от $k$ и получим $2y+2=lxy+2l+x$. При $lx \geqslant 2$ это равенство невозможно, поэтому $lx=1$, т.е. $l=x=1$. Но тогда $y=1$.

[Shadow]

TR63 в сообщении #918935 писал(а):

Даее результат, аналогичный Вашему, можно получить без формул Виета.

Если очень хочется, то можно, но зачем? Зачем надо боротся за нечто, которое от Бога дано?

TR63 в сообщении #918935 писал(а):

$kx-1<y\le 2k-1$

Shadow в сообщении #918824 писал(а):

Так как $y_1+y_2<y_1\text{ и }|y_1y_2| \ge y_1$

Оно и есть $kx-1<y_1\le 2k-1$

TR63 в сообщении #918935 писал(а):

Поскольку x нечётное, то $x=1$. И т.д.

Работая только с положительным корнем, после определения $x=1$ ваше неравенство превращается в $k-1<y<2k-1$. И за $y=1$ надо еще поборотся. Недолго, конечно, но зачем?

[TR63]

(Оффтоп)

Shadow, у меня, видно батарейка в мышке села. Очень трудно печатать. Прошу извинить, за не совсем полное решение (смотрю видео по физике; очень интересно; там, уж, мало осталось, учитывая, что знаменатель больше нуля; опять заело).

[Shadow]

(Оффтоп)

TR63 в сообщении #919009 писал(а):

Shadow, у меня, видно батарейка в мышке села

Включите в трехфазную сеть - сразу заряжется.

TR63 в сообщении #919009 писал(а):

смотрю видео по физике; очень интересно; там, уж, мало осталось, учитывая, что знаменатель больше нуля;

Не знаю как в видео по физике, но у нас в задаче знаменатель всегда был больше нуля. А вот числитель...ладно, когда батарейка заряжется, допишете.

[Shadow]

TR63, нормальное у Вас решение. А можем ли доказать следующее:

$$a,b \in \mathbb{N},(ab-1) \mid (a^2+b^2)\Rightarrow \dfrac{a^2+b^2}{ab-1}=5$$