Сумма всех натуральных чисел

[venco]

Nemiroff в сообщении #917771 писал(а):

Берём
$\sum_{n=1}^\infty n = 1 + 2 + 3 + \ldots = -\frac{1}{12}\qquad\eqno{(1)}$.
Не менее берём
$\sum_{n=1}^\infty 1 = 1 + 1 + 1 + \ldots = -\frac{1}{2}\qquad\eqno{(2)}$.
Складываем:
$\sum_{n=1}^\infty (n+1) = 2 + 3 + 4 + \ldots = -\frac{7}{12}\qquad\eqno{(3)}$

Берём
$\sum_{n=1}^\infty n = 1 + 2 + 3 + \ldots = -\frac{1}{12}\qquad\eqno{(1)}$.
Не менее берём
$-1\qquad\eqno{(4)}$.
Складываем:
$\sum_{n=2}^\infty n = 2 + 3 + 4 + \ldots = -\frac{13}{12}\qquad\eqno{(5)}$

Насколько я знаю, не все методы обобщённого суммирования сохраняют сумму при сдвиге ряда.
В вашем случае $(0+2+3+4+...) \ne 0+(2+3+4+...)$, так что (5) не верно.

[g______d]

Aritaborian в сообщении #917796 писал(а):

Эти слова недвусмысленно подразумевают, что сказавший их способен пояснить, в каком именно смысле

Это правда. Но я сильно подозреваю, что смысл может меняться даже для указанного ряда, и можно придумать такую хитрую регуляризацию, при которой значение будет другим. Например, как у Nemiroff. И слова "на самом деле" вносят некоторую путаницу, заставляя не-математика считать, что есть какой-то хитрый неизвестный ему способ суммирования вообще всех рядов.

Denis Russkih, вот пример в таком же стиле (кажется, тоже есть в той статье). Вы наверняка знаете, что при $|x|<1$ верно

$$ 1+x+x^2+\ldots=\frac{1}{1-x}. $$

Если не знаете, то воспользуйтесь формулой суммы конечной геометрической прогрессии и перейдите к пределу.

А теперь подумайте, даёт ли вышеуказанная формула какой-то способ придать смысл сумме $1+2+4+8+16+\ldots$. Этот ряд ещё сильнее расходится, чем $1+2+3+\ldots$. Вычисление с $\zeta$-функцией основано на той же идее, только формулы в правой части посложнее.

[nnosipov]

$p$-адический анализ здесь ещё не упоминали (или я не заметил)? Равенство $1+2+4+8+16+\ldots=-1$ верно потому, что левая часть есть $2$-адическое число, противоположное единице. Аналогично, равенства

$$ 1-2+4-8+16-\ldots=1+2+8+32+128+\ldots=\frac{1}{3} $$

можно считать равенствами $2$-адических чисел.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в соответствующий раздел

[ex-math]

venco в сообщении #917831 писал(а):

Насколько я знаю, не все методы обобщённого суммирования сохраняют сумму при сдвиге ряда.

Вот именно поэтому я и назвал этот метод негодным. Хотя к его чести стоит сказать, что он все-таки регулярен, т.е. для сходящегося ряда даст его сумму в обычном смысле (благодаря аналогу теоремы Абеля для рядов Дирихле).

[Nemiroff]

Alexu007 в сообщении #918369 писал(а):

Скажите пожалуйста, с какого конкретно натурального числа сумма начнёт уменьшаться, чтобы в итоге получилось$-1/12$

Ни с какого.

[AlexDem]

Утундрий в сообщении #918310 писал(а):

Pretty Kitty в сообщении #918289 писал(а):

Я студент-математик, и мне абсолютно не интересно как получается такой результат.

Примерно так же как $\left( { - 1} \right)^\infty = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$. Ничего более умного подобные "результаты" не содержат.

А пишут, что такой ряд встречается в физике при расчёте эффекта Казимира: тут и тут.

[itmanager85]

Nemiroff
а как вопрос должен звучать чтоб ответ был конкретно $-1/12$ , а не неопределено?

[Nemiroff]

Давайте это вот тут обсуждать, если очень интересно.
«Сумма всех натуральных чисел»
Ваш вопрос я не совсем понял. Ну можно так: чему равна сумма натурального ряда в смысле суммирования по Рамануджану? Будет конкретно $-1/12$.

[warlock66613]

Утундрий в сообщении #918310 писал(а):

Примерно так же как $\left( { - 1} \right)^\infty = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$. Ничего более умного подобные "результаты" не содержат.

Как-то вы слишком уж сокращённо изложили эту область математики, а ведь суммирование расходящихся рядов - это не такой уж маленький раздел.

[ratay]

Ну, когда говорят, что сумма натурального рядя может быть и -1/12, это уже не самое начало теории рядов. А ведь речь шла об обычной средней школе? Так что это не показатель общего уровня учеников.

[warlock66613]

ratay в сообщении #918617 писал(а):

Так что это не показатель общего уровня учеников.

Если ученики не могут понять удивительность факта, что эту сумму можно посчитать, то это кое-что говорит об уровне учеников.

[g______d]

Я бы с большой осторожностью относился к разговорам про $-1/12$ в школе. Хотя бы потому, что сумма равна $+\infty$, и это легко доказывается по определению. Как я уже говорил, предел последовательности может быть равен $+\infty$, поэтому сумма ряда тоже вполне может быть этому равна (слова "не определена" обычно используются в другой ситуации).

Ну и повторю тривиальную мысль, что $-1/12$ равна не сумма ряда, а величина $\zeta(-1)$. Тот факт, что для $\zeta(s)$ существует формула, при подстановке $-1$ в которую получится указанный ряд, говорит только о том, что эта формула в точке $-1$ не работает, что совершенно справедливо.

Наверное, стоит перенести несколько последних сообщений сюда, поэтому тег оффтопа не использую.

[warlock66613]

g______d в сообщении #918696 писал(а):

Ну и повторю тривиальную мысль, что $-1/12$ равна не сумма ряда, а величина $\zeta(-1)$. Тот факт, что для $\zeta(s)$ существует формула, при подстановке $-1$ в которую получится указанный ряд, говорит только о том, что эта формула в точке $-1$ не работает, что совершенно справедливо.

Таки и сумма ряда при соответствующем определении этой самой суммы тоже равна.

[g______d]

warlock66613 в сообщении #918728 писал(а):

Таки и сумма ряда при соответствующем определении этой самой суммы тоже равна.

Это "соответствующее определение" противоречит классическому, поэтому его нужно отдельно оговаривать. Никто не называет сумму по Рамануждану просто суммой. Кроме того, она зависит от дополнительных данных (для разных функций со свойством $f(n)=n$ мы будем получать, вообще говоря, разные ответы). Отрицательный эффект от подобных утверждений без оговорок существенно превышает положительный.