Равномерная сходимость ряда

[Otta]

Enot2 в сообщении #918145 писал(а):

А можно тогда сказать, что $\lim_{n \to \infty} \sup|u_n(x)| =\frac{3^{3/4}}{4} \neq 0$

Можно. А это точно так?

[Enot2]

Ну, врода да) $u_n(x)=\frac{\sqrt{nx^3}}{x^2+n^2}, \sup(u_n(x)) = \frac{3^{3/4}}{4}.$ Ну а $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{3/4}}{4} = \frac{3^{3/4}}{4}$

[Otta]

Enot2 в сообщении #918154 писал(а):

$\sup(u_n(x)) = \frac{3^{3/4}}{4}.$

Вот это место явно нигде не обосновано. Как только будет обосновано, то все будет в порядке.

[Enot2]

$u_n(x)=\frac{\sqrt{nx^3}}{x^2+n^2}$ Найдем производную $\frac{du_n}{dx}=\frac{\frac{3}{2}x^{1/2}n^{1/2}(x^2+n^2)-2xn^{1/2}x^{3/2}}{(x^2+n^2)^2}$. Найдем $x: \frac{du_n}{dx}=0 \Leftrightarrow x=n\sqrt{3}$. Больше корней это уравнение на промежутке $(1;\infty)$ не имеет. Найдем $u_n(n\sqrt{3})= \frac{3^{3/4}}{4}$. Также данная точка является максимумом $u_n(x)$, так как $u_n(x)$ непрерывна, $u_n(1) < n\sqrt{3} > u_n(2n\sqrt{3})$ Значит, $\max(u_n(x))=\sup(u_n(x))=\frac{3^{3/4}}{4}$
Так строго будет?

[ewert]

Enot2 в сообщении #918177 писал(а):

Найдем производную

Искать можно много чего, притом с увлечением и даже с азартом. Однако в данном случае полезнее призадуматься: а как зависит от эн максимум по иксам общего члена?... И поскольку Вы на квадрат уже разделили -- ответ тривиален.

[Otta]

Enot2 в сообщении #918177 писал(а):

Так строго будет?

Ужасно строго. Вот это только выкиньте

Enot2 в сообщении #918177 писал(а):

$u_n(1) < n\sqrt{3} > u_n(2n\sqrt{3})$

оно ни о чем.

И касательно замечания ewert: ewert, конечно, прав. И совсем необязательно искать точку экстремума, чтобы доказать отсутствие равномерной сходимости куда-нибудь, тем более, что она далеко не всегда ищется. (Просто Вы ее давно нашли.)

В Вашем случае вполне достаточно было заметить, что $\sup\limits_{x>1}u_n(x)\ge u_n(n)=1/2$, а значит, равномерной сходимости к нулю нет.

[Enot2]

Аа, все было намного проще, пфф.. У меня же была идея подставить $x=n$

[ewert]

Enot2 в сообщении #918207 писал(а):

У меня же была идея подставить $x=n$

Тут дело совсем не в подстановках. А в том, что тот максимум тривиально не зависит от эн; а тогда уж и не важно, чему он конкретно равен.

[Enot2]

Ну так это можно понять, только лишь подставив $x=n$.
Ну или найдя производную

[ewert]

Enot2 в сообщении #918227 писал(а):

Ну так это можно понять, только лишь подставив $x=n$.

Вовсе нет. Достаточно сделать напрашивающуюся замену $\frac{x}n=t$ (притом вовсе не обязательно на бумаге, мысленно с лихвой хватит).

[B@R5uk]

Otta в сообщении #918191 писал(а):

В Вашем случае вполне достаточно было заметить, что $\sup\limits_{x>1}u_n(x)\ge u_n(n)=1/2$, а значит, равномерной сходимости к нулю нет.

Согласно какой теореме? Или просто по определению равномерной сходимости?

[Otta]

Необходимое условие равномерной сходимости ряда не выполняется, как справедливо отметил ТС.