Равномерная сходимость ряда

[Enot2]

Есть ряд $\sum _{n=1}^\infty \frac{\sqrt{nx^3}}{x^2+n^2}$. Нужно исследовать его сходимость и равномерную сходимость на двух промежутках: $(0;1)$ и $(1;+\infty)$. Для $(0;1)$ я решил так: $\frac{\sqrt{nx^3}}{x^2+n^2} \leq \frac{\sqrt{n}}{n^2}$. По признаку Вейерштрасса сходится равномерно, а значит и поточечно. А вот для второго промежутка возникают проблемы.
Вот в чем вопрос, когда мы исследуем на поточечную сходимость, фиксируем ли мы икс? Если да, то получаем $\frac{\sqrt{nx^3}}{x^2+n^2} \sim \frac{\operatorname{const} \cdot \sqrt{n}}{\operatorname{const_1} + n^2} \sim \frac{1}{n^{3/2}}$, а ряд от такой последовательности сходится для любой константы из $(1;+\infty)$. Кажется, этот ряд сходится неравномерно, но как доказать эту неравномерность, оценивать остаток?

[Otta]

Enot2 в сообщении #918034 писал(а):

Вот в чем вопрос, когда мы исследуем на поточечную сходимость, фиксируем ли мы икс?

Да, конечно. Мы же смотрим на сходимость в каждой фиксированной точке.

Enot2 в сообщении #918034 писал(а):

Кажется, этот ряд сходится неравномерно, но как доказать эту неравномерность, оценивать остаток?

А как Вы пробовали? Оценивать остаток дело безнадежное, конечно. Вернее, это можно делать, но все сведется к тому, что можно было обойтись и без этого.

[Enot2]

Otta
Ну, пробовал по разным признакам: Вейерштрасса: пытался числитель заменить на что-то большое, используя неравенство среднего геометрического и арифметического. Со знаменателем замечательно сокращается, но $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{n}}$ не годится, хотя идея была хороша. Дирихле просто не подходит сюда, ровно как и Абель. Также пробовал найти максимум функциональной последовательности. Он оказался в точке $x=n\sqrt{3}$, но при подстановке получается, опять же, расходящийся ряд

[Otta]

То есть Вы всеми силами пытаетесь использовать признаки сходимости, подозревая расходимость. А для доказательства расходимости-то (вернее, отсутствия равномерной сходимости) какие средства есть?

[ewert]

Enot2 в сообщении #918034 писал(а):

но как доказать эту неравномерность

В данном случае -- достаточно просто разделить числитель и знаменатель на $n^2$.

[Enot2]

ewert в сообщении #918052 писал(а):

достаточно просто разделить числитель и знаменатель на $n^2$.

Получим $\frac{(\frac{x}{n})^{\frac{3}{2}}}{1+(\frac{x}{n})^2}$. А дальше нужно рассмотреть случай $x=n$?

[Otta]

Ну рассмотрите. :) А зачем? На основании чего Вы будете делать выводы? (которые можно было сделать и с помощью Ваших более ранних результатов) Вот я на что Вам намекаю.

[Enot2]

А, кажется понял: $\frac{(\frac{x}{n})^{\frac{3}{2}}}{1+(\frac{x}{n})^2} \sim(n \to \infty) \frac{1}{(\frac{x}{n})^{\frac{1}{2}}}$ а ряд $\sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{(\frac{x}{n})^{\frac{1}{2}}}$ расходится.
Так верно?

[Otta]

Enot2 в сообщении #918079 писал(а):

: $\frac{(\frac{x}{n})^{\frac{3}{2}}}{1+(\frac{x}{n})^2} \sim(n \to \infty) \frac{1}{(\frac{x}{n})^{\frac{1}{2}}}$

Эвкивалентность - при фиксированном $x$. Вас не смущает, что общий член у Вас эквивалентен совсем не эквивалентным выражениям в первом посте и здесь?

[Enot2]

Otta в сообщении #918082 писал(а):

общий член у Вас эквивалентен совсем не эквивалентным выражениям в первом посте и здесь?

Ну, вроде как, все преобразования были легальны, видимо, кроме последнего.
То есть отбросить единицу из знаменателя мы не можем?

[B@R5uk]

Не понимаю, почему нельзя сразу вынести икс в степени три вторых за знак суммирования? Под суммой сразу же получается абсолютно сходящийся ряд (и равномерно тоже, так как мажорируется). В таком виде изучать свойства функции же проще: получается произведение двух непрерывных функций.

[Otta]

B@R5uk в сообщении #918100 писал(а):

Не понимаю, почему нельзя сразу вынести икс в степени три вторых за знак суммирования?

Потому что нельзя. Свойства ряда от этого меняются.

Enot2 в сообщении #918094 писал(а):

Ну, вроде как, все преобразования были легальны, видимо, кроме последнего.
То есть отбросить единицу из знаменателя мы не можем?

Да мы все можем! мы можем даже сдвинуть гору. Но прежде чем сдвигать, давайте убедимся, что это действительно нам нужно. Чтобы потом не было мучительно больно за бесцельно прожитые годы.

А если без лирики, меня всегда в детстве учили при обосновании результата (сходится ли, нет ли) ссылаться на нужные теоремы и прямо по пунктам показывать, что их условия выполняются. Без этого задача просто не зачитывалась.

Итак, какой результат Вы собираетесь использовать? Не так и много средств показывать отсутствие равномерной сходимости.

[Enot2]

Я подумал и есть такая идея: что если доказать, что $\frac{(\frac{x}{n})^{\frac{3}{2}}}{1+(\frac{x}{n})^2}$ сходится неравномерно к нулю на промежутке $(1;+\infty)$? Поточечно она сходится к нулю. Однако у этой функциональной последовательности, как я уже говорил, есть максимум в точке $x=n\sqrt{3}$. Тогда первая же функция($\frac{x^{3/2}}{1+x^2}$) будет иметь максимум в точке $\sqrt{3}$, равный $\frac{3^{3/4}}{4}$. Так как $u_n(x) > 0$, то получаем, что $u_n(\sqrt{3}) > \frac{3^{3/4}}{4}$, а это означает, что она сходится неравномерно к нулю => не выполнено необходимое условие равномерной сходимости ряда

[Otta]

:) Сама идея свести все к необходимому условию хороша, только зачем такие сложности, которые, к тому же нуждаются в обосновании? (и которые обосновать

Enot2 в сообщении #918131 писал(а):

получаем, что $u_n(\sqrt{3}) > \frac{3^{3/4}}{4}$

не удастся, ибо это неверно? Вы хорошо начали, ну уж и продолжите хорошо. Покажите, что не сходится к нулю равномерно.

[Enot2]

Ой, ей, ей. Там же сумма будет больше, чем $\frac{3^{3/4}}{4}$, но это не очень помогает, наверное.
А можно тогда сказать, что $\lim_{n \to \infty} \sup|u_n(x)| =\frac{3^{3/4}}{4} \neq 0$