Интеграл от функции Лапласа

[margolib]

Как найти

$$\int_{a}^{b} \Phi (x)dx$$

где \Phi (x) = $\int_{0}^{x} e^{\frac {-z^2} {2}}dz$

[Brukvalub]

Только численно.

[Бодигрим]

Я бы перевел экспоненту в ряд Тейлора и выполнил бы интегрирования. Это, конечно, не даст выражения через элементарные функции, но хоть какой-то материал для работы будет.

[Mikhail Sokolov]

Мне тоже кажется, что только численно. Предположим противное, то есть пусть при фиксированном $a$ и любом $b$ интеграл выражается через композицию конечного числа элементарных функций и арифметических операций. Тогда производная от него по $b$ тоже является композицией конечного числа элементарных функций. А это не так, ибо производная совпадает с функцей Лапласа. Противоречие.

[margolib]

А где можно посмотреть доказательство, что ф-я Лапласа не выражается через элементарные функции? Факт известный, но хотелось бы взглянуть на док-во.

[Someone]

Вообще-то, функция Лапласа обычно определяется как

$$\Phi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^xe^{-\frac{t^2}2}dt\text{.}$$

Первообразную функции $\Phi(x)$ можно выразить через саму $\Phi(x)$ и её производную $\varphi(x)=\Phi'(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}$.
Для этого нужно проинтегрировать "по частям":

$$\int\Phi(x)dx=x\Phi(x)-\int x\varphi(x)dx=x\Phi(x)+\varphi(x)+C\text{.}$$

[margolib]

Спасибо.
А все-таки, где можно глянуть структуру доказательства, что ф-я Лапласа не выражается через элемениарные функции?

[Gordmit]

Здесь сказаны некие общие слова о невыразимости через элементарные функции похожего интеграла

$$\int e^{x^2}\,dx$$

.