2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл от функции Лапласа
Сообщение19.12.2007, 15:26 
Как найти
$$\int_{a}^{b} \Phi (x)dx$$
где \Phi (x) = $\int_{0}^{x} e^{\frac {-z^2} {2}}dz$

 
 
 
 
Сообщение19.12.2007, 16:10 
Аватара пользователя
Только численно.

 
 
 
 
Сообщение19.12.2007, 16:25 
Аватара пользователя
Я бы перевел экспоненту в ряд Тейлора и выполнил бы интегрирования. Это, конечно, не даст выражения через элементарные функции, но хоть какой-то материал для работы будет.

 
 
 
 
Сообщение19.12.2007, 16:50 
Мне тоже кажется, что только численно. Предположим противное, то есть пусть при фиксированном $a$ и любом $b$ интеграл выражается через композицию конечного числа элементарных функций и арифметических операций. Тогда производная от него по $b$ тоже является композицией конечного числа элементарных функций. А это не так, ибо производная совпадает с функцей Лапласа. Противоречие.

 
 
 
 
Сообщение19.12.2007, 18:56 
А где можно посмотреть доказательство, что ф-я Лапласа не выражается через элементарные функции? Факт известный, но хотелось бы взглянуть на док-во.

 
 
 
 
Сообщение19.12.2007, 19:09 
Аватара пользователя
Вообще-то, функция Лапласа обычно определяется как
$$\Phi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^xe^{-\frac{t^2}2}dt\text{.}$$

Первообразную функции $\Phi(x)$ можно выразить через саму $\Phi(x)$ и её производную $\varphi(x)=\Phi'(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}$.
Для этого нужно проинтегрировать "по частям":

$$\int\Phi(x)dx=x\Phi(x)-\int x\varphi(x)dx=x\Phi(x)+\varphi(x)+C\text{.}$$

 
 
 
 
Сообщение20.12.2007, 15:22 
Спасибо.
А все-таки, где можно глянуть структуру доказательства, что ф-я Лапласа не выражается через элемениарные функции?

 
 
 
 
Сообщение20.12.2007, 23:37 
Здесь сказаны некие общие слова о невыразимости через элементарные функции похожего интеграла $$\int e^{x^2}\,dx$$.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group