Дифференциальное уравнение с понижением порядка

[Hsad]

Дан дифур: $4y^3y''=y^4-16$ В нем отсутствует переменная $x$
Начальные условия: $y(0)=2\sqrt2, y'(0)=\frac 1 \sqrt2$
Решение:
$y'=z, z(y)$
$y''=\frac {zdz}{dy}$
$\frac {4y^3zdz}{dy}=y^4-16$
$\frac{zdz}{dy}=\frac y 4 - \frac {4} {y^3}$
Интегрируем и делаем обратную замену $z=y'$:
$\int zdz = \int(\frac y 4 - \frac {4} {y^3})dy$
$\frac {(y')^2} {2}= \frac {y^4+16} {8y^2} + c_1$
Подставляю начальные условия и нахожу $c_1$
$c_1$ отсюда = -1
$y'= \frac {y^2-4} {2\sqrt{y^2}}-1$
Дальше необходимо все это снова проинтегрировать, но у меня получается что-то совсем заоблачное. Тут меня осенило, что скорее всего я еще где-то раньше накосячил. Помогите, пожалуйста, найти ошибку, тема новая для меня, , пока еще не совсем разбираюсь, может быть я вообще не по такому принципу делаю.

[iifat]

Вы каким-то крайне любопытным образом подставили $C_1=-1$. Попробуйте ещё раз. И вспомните, чему равно $\sqrt{y^2}$.
Хм. А почему, интересно, вторая формула не форматируется?

[Hsad]

iifat в сообщении #917919 писал(а):

Вы каким-то крайне любопытным образом подставили $C_1=-1$. Попробуйте ещё раз. И вспомните, чему равно $\sqrt{y^2}$.
Хм. А почему, интересно, вторая формула не форматируется?

Сюда подставил начальные условия $\frac {(y')^2} {2}= \frac {y^4+16} {8y^2} + c_1$ и получил $c_1$ = -1. Далее умножил на 2, далее все упростил по возможности и получил $y'= \frac {y^2-4} {2\sqrt{y^2}}+c_1$. Ну а потом вместо $c_1$ подставил -1.
$c_1$ я правильно нашел? И как эту константу тогда подставить правильно? :)
Вы предлагаете заменить $\sqrt{y^2}$ на $\lvert y \rvert$? Я же вроде как не могу заменить на просто $y$?
И про какую вторую формулу вы говорите?

[Shtorm]

Hsad в сообщении #917917 писал(а):

Подставляю начальные условия и нахожу $c_1$
$c_1$ отсюда = -1
$y'= \frac {y^2-4} {2\sqrt{y^2}}-1$

После подстановки $C_1=-1$ и извлечения квадратного корня получается:

$y'= \pm\frac {y^2-4} {2y}$

Вот это уравнение и надо интегрировать. Заметьте, никакой $-1$ в нём нет.
Проверьте ещё раз.

[Hsad]

Shtorm в сообщении #917954 писал(а):

Hsad в сообщении #917917 писал(а):

Подставляю начальные условия и нахожу $c_1$
$c_1$ отсюда = -1
$y'= \frac {y^2-4} {2\sqrt{y^2}}-1$

После подстановки $C_1=-1$ и извлечения квадратного корня получается:

$y'= \pm\frac {y^2-4} {2y}$

Вот это уравнение и надо интегрировать.

Получается $y=\pm\sqrt{c_2e^x+4}$ и $y=\pm\sqrt{\frac {c_2} {e^x} +4}$. Отсюда искать $c_2$, подставляя начальные условия? Что-то очень дурное выходит. Есть ли вообще другие варианты решения?

[Ms-dos4]

Hsad
Почему дурное? По моему всё очень даже хорошо выходит

[Hsad]

Ms-dos4 в сообщении #917984 писал(а):

Hsad
Почему дурное? По моему всё очень даже хорошо выходит

Для $y=\pm\sqrt{c_2e^x+4}$:
$2\sqrt2=\pm\sqrt{c_2e^x+4}$
$x$ же у нас получается равен нулю?
Получается, что $c_2$=\pm4$
Во втором случае $y=\pm\sqrt{\frac {c_2} {e^x} +4}$ $c_2$ также равен $\pm4$
В итоге окончательный ответ:
$y=\pm\sqrt{4e^x+4}$
$y=\pm\sqrt{-4e^x+4}$
$y=\pm\sqrt{\frac {4} {e^x} +4}$
$y=\pm\sqrt{\frac {-4} {e^x} +4}$
Примерно так? :)

[Otta]

Ну подставьте ноль, проверьте. )

[Ms-dos4]

Hsad
В случае знаков $\[ - \]$ перед корнем удовлетворить начальным условиям невозможно, поэтому решение имеет вид $\[y = 2\sqrt {{e^{ \pm x}} + 1} \]$

[Shtorm]

Hsad в сообщении #917977 писал(а):

Есть ли вообще другие варианты решения?

Не знаю чем Вам не понравилось решение и почему оно дурное, но для того, чтобы у Вас было меньше возможностей совершить ошибки при нахождении $C_2$, как вариант, могу предложить найти $C_2$, подставив начальные условия в выражение:

$$\ln|y^2-4|=\pm x+C_2$$

всё равно ответ будет как у Ms-dos4

[Hsad]

Всем большое спасибо, разобрался вроде как :)