Сколько существует способов рассадки ?

[MAKSUS_87]

Здравствуйте.
На карусели девять одинаковых мест для пассажиров. Сколько существует способов рассадки трех взрослых и шести детей для катания на карусели, при которых никакие два взрослых не сидят друг за другом ?

Объясните, пожалуйста, как решать задачу. Мои мысли:
Общее число рассадок $8!$. Кол-во пар взрослый-взрослый 9 штук. При этом дети могут сесть 6! способами. Т.к. кол-во пар взрослый-взрослый 9 штук, то имеем $6! \cdot 9$. Но т.к. у нас еще остался 1 взрослый (его можно рассадить по 5-ми местам, так, чтобы он сидел отдельно от 2 взрослых), то имеем $6!\cdot 9\cdot 5$.
Трех взрослых подряд можно рассадить опять же 9 способами, учитывая перемещение детей имеем $6!\cdot 9$.
Итого имеем: $8!-6!\cdot 9\cdot 5-6!\cdot 9=1440$ способов.
Заранее спасибо.

[popolznev]

Я бы для начала прибил одного из взрослых гвоздиком к одному из мест. Потом - рассадить остальных двух взрослых, соблюдая условие. А потом уж для детей останется $6!$ вариантов.

[MAKSUS_87]

popolznev

А что Вы думаете о моем способе ?

-- 11.10.2014, 13:57 --

popolznev

Хорошо. Я обозначил взрослого за 1, а ребенка за 0. Допустим взрослый занимает первую позицию, тогда:
101010000
101001000
101000100
101000010
100101000
100100100
100100010
100010100
100010010
100001010

[whitefox]

Теперь "прибейте" взрослого ко 2-й позиции и сделайте тоже самое. Потом к 3-й и т. д.

[popolznev]

whitefox, карусель же круглая, места же одинаковые же.

-- 11.10.2014, 13:56 --

MAKSUS_87 в сообщении #917588 писал(а):

popolznev
А что Вы думаете о моем способе ?

Я, признаться, не врубился в эти "пары".

Цитата:

Хорошо. Я обозначил взрослого за 1, а ребенка за 0. Допустим взрослый занимает первую позицию, тогда:
101010000
101001000
101000100
101000010
100101000
100100100
100100010
100010100
100010010
100001010

Вроде так, ага. Ну, и ещё взрослых можно переставлять между собой, и детей между собой.

А, стоп, тут тонкость. Не получится ли так, что, пересадив взрослых, мы придем к той же рассадке (или к другой, но уже учтённой) с точностью до поворота окружности? Например, вариант 100100100: рассадки А00Б00В00 и В00А00Б00 - это ведь одно и то же.

Как вредно спешить.

Да, наверное, одного взрослого надо считать раз и навсегда прибитым к месту, а двух других можно менять местами между собой, но не с прибитым.

[MAKSUS_87]

popolznev

Так что же мы имеем в результате ?

Цитата:

а двух других можно менять местами между собой

Я так понимаю это и есть те комбинации о которых я написал выше.

[popolznev]

MAKSUS_87, да, в итоге столько же и получается: $10 \cdot 2 \cdot 6! = 1440$.

[MAKSUS_87]

popolznev

Спасибо за помощь.

[MAKSUS_87]

У кого-нибудь есть еще какие варианты ?

Цитата:

Да, наверное, одного взрослого надо считать раз и навсегда прибитым к месту, а двух других можно менять местами между собой, но не с прибитым.

Просто вот не понимаю почему прибитого не трогать ?

Можно ли как-нибудь проверить ?

[iifat]

Как вариант.
Без садизма не обойтись, если варианты, получающиеся сдвигом, считать за один: прибиваем одного взрослого к стулу.
Даём каждому взрослому по ребёнку $6\dot5\dot4$ способами.
Получившиеся конгломераты (прибитого взрослого с ребёнком, две пары и трёх детей) можно рассадить $5!$ способами.
Итого 14400 способов.
Кстати, popolznev, у вас тоже — вы при умножении ноль потеряли.

[MAKSUS_87]

iifat

А способ изложенный выше правильный вообще ?
P.S. Действительно 0 потерян.

[popolznev]

iifat в сообщении #918498 писал(а):

Кстати, popolznev, у вас тоже — вы при умножении ноль потеряли.

Меа кульпа, меа кульпа. Только это не при умножении.

[MAKSUS_87]

popolznev в сообщении #918572 писал(а):

iifat в сообщении #918498 писал(а):

Кстати, popolznev, у вас тоже — вы при умножении ноль потеряли.

Меа кульпа, меа кульпа. Только это не при умножении.

А где ? $10 \cdot 2! \cdot 6!=14400$ Тут же был косяк.

[iifat]

MAKSUS_87 в сообщении #918556 писал(а):

А способ изложенный выше правильный вообще ?

Похоже на то. По крайней мере, то, что результаты совпали — хороший аргумент в пользу правильности обоих. Либо ошибки совпали

[ivashenko_a_v]

Позволю себе не согласиться с Вашими способами. Да, Вы правильно определили 10 способов рассадки в которых все взрослые эквивалентны между собой и все дети между собой. При таком допущении все рассадки, получаемые циклической перестановкой - эквивалентны и в этом случае можно определить всего 4 уникальных способа рассадки из этих 10- ти. В этих четырёх способах можно поменять местами детей 6! способами и взрослых -3! способами. Таким образом общее количество рассадок равно:$4\cdot3!\cdot6!=4!\cdot6!$
Я за гуманность - пробивать никого не нужно :)