Когомологии Де Рама тора и плоскости без k точек.

[q271828]

Здравствуйте. Пытаюсь найти группы когомологий тора. Последовательностью Майера-Вьеториса. Я представил тор как 2 пересекающихся цилиндра. Цилиндр гомотопически эквивалентен $S^1$ и группа когомологий несвязных компонент это сумма групп И вот что получается, этой последовательностью.
0 \rightarrow H^0(T^2) \rightarrow^{\alpha_0} H^0(S^1) \oplus H^0(S^1) \rightarrow^{\beta_0} H^0(S^1) \oplus H^0(S^1) \rightarrow^{\omega_0} H^1(T^2) \rightarrow ... \rightarrow H^2(T^2) \rightarrow 0 \rightarrow 0 \rightarrow .....
Т.к. последовательность точная, то я постоянно применяю формулы $H^1(T^2) = \frac{H^0(S^1) \oplus H^0(S^1)}{\operatorname{Ker} \omega_0} = \frac{H^0(S^1) \oplus H^0(S^1)}{\operatorname{Im} \beta_0} $ По теореме о гомоморфизме $\operatorname{Im} \beta_0 = \frac{H^0(S^1) \oplus H^0(S^1)}{\operatorname{Ker} \beta_0} ... $ Подставляем $H^0(T^2) = R, H^0(S^1) = R$ И вычисляем.
Таким образом при вычислении получается, что $H^1(T^2)=R, a $H^2(T^2)$ у меня равно 0, что неверно в корне. Подскажите, где у меня ошибка?

[apriv]

Ну, покажите, как именно Вы получили, что $H^2(T^2)=0$. Как Вы считали отображения в этой длинной точной последовательности?