Поверить в то, что существует простое доказательство Великой теоремы Ферма, очень сложно.
Доказательство универсально для любой степени n > 2.
Повинуясь ПРАВИЛАМ форума привожу краткое доказательство для

.

все числа целые, положительные.
числа

,

,

не имеют общего делителя, так как уравнение легко приводится к тому же состоянию при делении каждого члена на общий делитель.

Разложим

на сомножители

Из этого следует, что искомое

имеет сомножитель

, но

должно иметь три сомножителя

. (В первоначальной версии допущена неточность)
Из этого следует, что искомое

имеет сомножители, входящие в

, но

должно иметь три сомножителя

. При условии, что существовало бы равенство

Пытаемся разделить

на

, т.е. найти второй сомножитель.
Преобразуем

или

В полученном выражении имеем два слагаемых, первое нацело делится на

.
А вот от второго будет зависеть будет ли

иметь более одного сомножителя

.
Итак, если

некратно

, то сомножитель только один, а следовательно выражение

не может быть степенью числа.
Исключительно для случая

у нас будет еще один сомножитель

, но не более.
Но, если

кратно

, тогда и

и

кратно

, что противоречит начальным условиям.
Если

, попробуйте решить ту же задачу поменяв местами

и

. Результат очевиден.
В доказательстве используются формулы разложения для нечетных степеней. Разложение четных степеней имеет несколько иной вид. Но смысл тот же.
(Доказательство для
)
Доказательство теоремы Ферма
Утверждаю что

при соблюдении условий:
все числа целые, положительные.
числа a, b , c не имеют общего делителя, так как уравнение легко приводятся к тому же состоянию при делении каждого члена на общий делитель.
n > 2
Раздел V. Доказательство, «по серьезному».
Свойства разности двух чисел возведенных в степень n.
Разложим

на сомножители


- сомножитель, - целое число больше 1

- количество повторений сомножителя

, - целое число больше 0 (степень при сомножителе

)

- сомножитель, - целое число больше 1

- количество повторений сомножителя

, - целое число больше 0 (степень при сомножителе

)
Ни одно

не повторяет

, так как ниже приводится исчерпывающий перечень возможных вариантов значений

.
Примечание: разумеется есть программы построенные в Excel, позволяющие проверить это утверждение. Ресурсов конечно маловато… но. Дотошным математикам не трудно будет выполнить это же в более серьезных инструментариях.
Значения сомножителей

определяются разложением значения



может встречаться в разложении

несколько раз (иметь равные значения), но для каждого из них действуют дальнейшие правила.
Значения степеней при сомножителях

определяются соотношением

и значения

см. (1) и (2) и (3)

, если

не кратно

, так как присутствует один раз в разложении

см.(1)

, если

кратно

, так как присутствует

раз в разложении

см.(2)

, если

кратно

, т.е. если

несколько раз (q раз) участвует в разложении

.
например:

если


, если

не кратно

, но

равно одному из делителей числа степени

, т.к коэффициент при

см.(2)

, если

кратно

, но

равно одному из делителей числа степени

, и число сомножителей

, входящих в

больше сомножителей

, входящих в

.
например:

если

[i]Доказанные свойства
Те же значения

приобретают, если рассматривать разложение на сомножители выражения

Утверждение автора
Дотошному читателю не трудно будет провести выше приведенное исследования, но применительно к разложению суммы, чисел, возведенных в одинаковую степень.
так, как

(1)

(2)

коэффициент возрастающий от 1 до

Второе слагаемое в формуле 2

, целое число,
если

, т.е.

кратно

То же касается любого из сомножителей

Если

кратно

повторяя разложение на сомножители выражения 2, мы убедимся, что в выражении

количество сомножителей

будет равно

.
Если

кратно

повторяя разложение на сомножители выражения 2, мы убедимся, что количество сомножителей

будет равно

.
Итак, мы предполагаем, что

должно быть равно выражению


при условии, что

(целевое условие)
У нас всего два варианта получаемых результатов:
выражение

не выполняется хотя бы в одном из равенств, если

некратно

.
Следовательно целевое условие не выполнимо, а значит задача

доказана
выражение

выполняется, только если

кратно

Но если

кратно

, тогда и

кратно

и также

кратно

Что противоречит начальным условиям задачи.
В противном случае нам придется решать равенство
или

К таким же следствиям придем, если

кратно


или

Примечание:
Если

, мы можем рассматривать вариант разложения на сомножители

, что не противоречит начальным условиям, но упрощает расчеты.
Если

, мы можем рассматривать вариант разложения на сомножители

.
Если

и одновременно

, мы можем рассматривать вариант разложения на сомножители

, что не противоречит начальным условиям.
Следовательно

что и требовалось доказать.
Следуя логике приведенных рассуждений можно утверждать, что

при

, где m целое число > 2
, где z целое число > 2