Момент инерции куба.

[fronnya]

Не могу точно определить, где ошибка в моих вычислениях (хотя подозреваю). Вот, как я делаю:

$$I=\int r^2dm=\rho\int r^2dV$$

$dV$- это объем очень тонкой пластинки (мы как бы из пластинок формируем всю массу куба), так вот я его определяю так: $dV=abdz$, а $r^2=a^2+b^2$- квадрат диагонали этой пластинки. Интегрирование производим в пределах от нуля до $c$, учитывая, что $\rho=\frac{m}{V}$ и $V=abc$:

$$I=\frac{m}{abc}\int_0^c (a^2+b^2)abdz=m(a^2+b^2)$$

Ну ошибка наверное в том, что нельзя было брать диагональ пластинки. Тогда я не знаю.

[melnikoff]

Вы хотите вычислить момент инерции относительно какой оси?

[fronnya]

melnikoff в сообщении #917092 писал(а):

Вы хотите вычислить момент инерции относительно какой оси?

Черт, я же не указал тут. Ну относительно вертикальной оси, которая проходит через боковое ребро

[melnikoff]

fronnya в сообщении #917090 писал(а):

$dV$- это объем очень тонкой пластинки (мы как бы из пластинок формируем всю массу куба)

Интеграл по объему определен как предел интегральной суммы при стремлении диаметров (диаметр множества) всех объемчиков к нулю. Пластины, о которых Вы говорите, никак не удовлетворяют этому условию.

Считаем, что нам дан куб с ребром $a$, и, что он однородный.
$I=\int \limits_{V}r^2dm=\rho \int \limits_{V}r^2dV=\rho \int \limits_{o}^{a}dz\int \limits_{S}r^2dS$.
То есть, помещая начало прямоугольной системы координат в вершину куба, а оси – вдоль ребер куба, сводим тройной интеграл к повторному.
$\int \limits_{S}r^2dS$ - интеграл по площади квадрата со стороной $a$.
Главное понимать, что $r$ - это расстояние до элементарных площадок квадрата и оно как раз выражается по теореме Пифагора.

[fronnya]

melnikoff , а что мне тогда делать?

[Ms-dos4]

fronnya
Тут кажется полное непонимаение. $\[r\]$ - это расстояние от элемента $\[dV\]$ до выбранной вами оси. И вообще проще делать по другому. Момент инерции относительно произвольной оси есть квадратичная форма $\[{I_A} = {{\vec n}^T}\hat I\vec n\]$ (взгляните на матрицу тензора инерции $\[{\hat I}\]$). А если в качестве осей координат выбрать главные (а у параллелепипеда они очевидно какие), то будет совсем просто $\[{I_A} = {I_x}n_x^2 + {I_y}n_y^2 + {I_z}n_z^2\]$. Вот и найдите их. ($\[{\vec n}\]$ - единичный вектор в направлении оси)

[fronnya]

Ms-dos4, не, мне квадратичные формы противопоказаны (не прошли ещё )

-- 09.10.2014, 23:58 --

melnikoff , мне тут одногруппники объяснили. Введем линейную плотность: $\sigma=\frac {m}{s}$, тогда $d\sigma=\sigma dxdy$, а $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Тогда

$$I=\sigma\int_0^b\int_0^a (x^2+y^2)dxdy=\frac{1}{3}m(a^2+b^2)$$

[Munin]

fronnya в сообщении #917132 писал(а):

Ms-dos4, не, мне квадратичные формы противопоказаны (не прошли ещё )

Ну вы же не экзамен сдавать по ним будете.

А в учебниках по линалу, которые вы летом штудировали, вы квадратичных форм не прочитали ещё?

[fronnya]

Munin в сообщении #917246 писал(а):

А в учебниках по линалу, которые вы летом штудировали, вы квадратичных форм не прочитали ещё?

Даже близко, нет.

[Munin]

Хм. А матрицы прочитали?

Квадратичная форма - это, поначалу, просто матрица, которая применяется так: $x^{\mathrm{T}}Ax.$ То есть, берём вектор, и умножаем его на матрицу с двух сторон. Получается куча произведений второй степени с разными коэффициентами, матрица как раз задаёт эти коэффициенты. Так что, квадратичная форма - это однородный полином второй степени от $n$ переменных, но его свойства - удобнее всего анализировать аналогично свойствам матрицы.