Инверсная кинематика: вопрос по определению углов

[sezam]

Подскажите, как преобразовать углы в системе?

[Skeptic]

sezam писал(а):

И почему-то всё время зацикливаюсь на разделении координат и плоскостей, на $XY$ и $ZH$, хотя их в моем случае нужно решать сообща

sezam, поверните плоскость $ZH$ вокруг оси $Z$ до совмещения с плоскостью $ZX$ или $ZY$, и вы перейдёте в двумерное пространство, т.е. освободитесь от одной из координат.

[sezam]

Хм, повернуть?
Уж не так ли:

$X_n=X_H\cos(\alpha)-Y_H\sin(\alpha)$
$Y_n=X_H\sin(\alpha)+Y_H\cos(\alpha)$

где

$\alpha=\arctg(Y/X)$

[Skeptic]

sezam, можно и так, но не в этом дело. Не спешите с вычислениями. Решете сначала задачу качественно.
Движение механизма происходит в плоскости. Рассмотрите только эту плоскость, и разберитесь с траекториями движенья звеньев. После этого наступит очередь вычислений.

[sezam]

Хорошо.
Рассматривая движение механизма в плоскости $ZH$ мы видим, что первое звено $L_1$ остается неподвижным и постоянным при движении двух других звеньев $L_2$ и $L_3$.
Звено $L_2$ вращается вокруг центра, коим является точка крепления звеньев $L_1$ и $L_2$, и описывает окружность радиусом $L_2$.
Звено $L_3$ вращается вокруг центра, коим является точка крепления звеньев $L_2$ и $L_3$, и описывает окружность радиусом $L_3$.

[Skeptic]

Как звенья $L_2$ и $L_3$ могут вращаться, если концы их закреплены неподвижно, а сами они соединены друг с другом? Очевидно, что они неподвижны. Какое положение они могут занимать?

[sezam]

Что-то я немного запутался.
Почему они, звенья $L_2$ и $L_3$, неподвижны и не могут вращаться?
Если исходить из того, что рассматривается система из трёх подвижных звеньев, а так оно и есть, то в первую очередь мы определились с тем, что первое звено вращается вокруг оси, расположенной в начале координат, в плоскости $XY$. Больше ни в каких плоскостях это звено не вращается. Во вторую очередь мы рассматриваем расположение механизма в плоскости $ZH$, для чего мы через поворот совместили плоскость $ZH$ с одной из осей координат на выбор $OX$ или $OY$.
Для дальнейшего анализа, примем вариант совмещения плоскости $ZH$ с осью координат $OY$ и будем рассматривать плоскость $YZ$ с расположенным в ней механизмом.
Можно рассмотреть два варианта.
Первый: так как звено $L_2$ расположено между звеньями $L_1$ и $L_3$, можно считать что оно не движется, и приступить к анализу расположения звена $L_3$, которым мы должны попасть в указанную координату.
Второй: исходя из первого можно предположить что звенья $L_2$ и $L_3$ движутся вместе вокруг точки вращения, расположенной в месте соединения звеньев $L_1$ и $L_2$, и приступить к анализу расположения обоих звеньев.

Однако, если мы уже указали требуемую координату-цель, то звено $L_3$ у нас будет располагаться неподвижно и одним своим окончанием будет направлено на нашу координату-цель, а другим - опираться на также неподвижное звено $L_2$, которое в свою очередь опирается через неподвижное звено $L_1$ на начало координат.

Вроде ничего не упустил.

[Skeptic]

Читайте внимательнее условие задачи. Первое звено не вращается, а располагается в плоскости XY. Второе и третье звенья расположены в вертикальной плоскости. Все звенья соединены последовательно, и заданы координаты концов этой цепи. Постройте это положение звеньев.

[sezam]

Получается треугольник, у которого одна из вершин задана условием задачи, а другая вершина отстает от начала координат на длину $L_1$.

[sezam]

Поправьте меня, если что-то не так.

Сначала нужно найти координаты окончания звена $L_1$ на плоскости $YZ$. Затем рассмотрим треугольник $ABC$, у которого точка $A$ - окончание звена $L_1$ и начало звена $L_2$, точка $B$ - окончание звена $L_2$ и начало звена $L_3$ и точка $C$ - окончание звена $L_3$ и искомая цель.

Пусть точка $A$ треугольника $ABC$ имеет координаты $y_1$, $z_1$, точка $B$ этого треугольника - координаты $y_2$, $z_2$, а точка $C$ - координаты $y_3$, $z_3$. В декартовой системе координат с перпендикулярными друг другу осями $Y$ и $Z$ от начала координат можно провести радиус-векторы ко всем трем точкам. Проекции радиус-векторов на координатные оси будут давать координаты точек.

Пусть тогда $r_1$ - радиус вектор точки $A$, $r_2$ - радиус-вектор точки $B$, а $r_3$ - радиус-вектор точки $C$.

Тогда длина стороны $AB$ будет равна $|r_1-r_2|$, длина стороны $AC=|r_1-r_3|$, a $BC=|r_2-r_3|$.

Следовательно,
$AB = \sqrt{(((y_1-y_2)^2)+((z_1-z_2)^2))}$,
$AC = \sqrt{(((y_1-y_3)^2)+((z_1-z_3)^2))}$,
$BC = \sqrt{(((y_2-y_3)^2)+((z_2-z_3)^2))}$.

Определимся со сторонами:
$AB$ - звено $L_2$ (задано по условию задачи)
$BC$ - звено $L_3$ (задано по условию задачи)
$AC$ - искомая величина

Углы треугольника ABC можно найти из теоремы косинусов. Теорему косинусов можно записать в следующем виде:
$BC^2 = (AB^2)+(AC^2) - 2AB \cdot AC\cos(BAC)$.
Отсюда,
$\cos(BAC) = ((AB^2)+(AC^2)-(BC^2))/2 \cdot AB \cdot AC$.

-- 04.10.2014, 12:20 --

Теперь осталось применить весь расчет к нашей задаче.

Координаты точки $A$ с учетом поворота плоскости будут:
$Y_a=(X_H\sin(\alpha)+Y_H\cos(\alpha))-L_1$
$Z_a=0$

[Skeptic]

sezam.
Зачем лишние действия? Забудьте поворот. Всё легко считается в плоскости $ZH$.

[sezam]

то есть поворот можно убрать?

$Y_a=L_1$
$Z_a=0$

[sezam]

Так как быть с поворотом в последнем вопросе?
Почему он не нужен?

[Skeptic]

Зачем поворачивать, если и без этого известны длины всех звеньев и вычисляются расстояния от концов первого звена до точки $H$?

[sezam]

Вы уж извините, но я пишу программу для расчета и визуализации системы поворота механизма и у меня, как оказалось, первоначально была проблема именно с поворотом всего механизма в плоскости $XY$ и указания сдвига для треугольника на длину $L_1$, а потом вторая ошибка в решении задачи о треугольниках.

Поэтому мне важнее всего определение самих углов поворота каждого звена относительно друг друга и координатной сетки.

Если есть нюансы в общем определении координат точки $A$ с учетом поворота, то прошу немного разъяснить.

После проверки всей системы решения данной задачи обнаружил, что поворот всё-таки учитывать необходимо. У меня координатная сетка теперь работает нормально.