Периодическое во времени решение краевой задачи

[sup]

Пусть $Q=(0,L)\times (0,T)$. В области $Q$ рассматриваем задачу

$Lu \equiv G u_t(x,t) -(F(u_x))_x = 0$
$u(0,t) =0, \, t \in (0,T)$
$u(L,t) =\varphi(t), \, t \in (0,T)$
$u(x,0) =u(x,T), \, x \in (0,L)$

$G \neq 0$ - константа. Относительно $F(z)$ будем предполагать дифференцируемость и монотонность: $0 < a < F'(z) < b$. Предположим, что $\varphi(t)$ гладкая и периодическая с периодом $T$. Тогда у задачи существует и единственно регулярное решение из класса $u_t, u_{xx} \in L_2(Q)$.
Ниже, не оговаривая особо, мы будем пользоваться неравенством $|F(z)| < C(1 + |z|)$, которое вытекает из требований на $F$. Отметим, что эти условия можно и ослабить.
Кроме того, ниже, чтобы не загромождать выкладки, считаем, что $G = 1$.

Доказательство. Обозначим $w(x,t) = \frac{x\varphi(t)}{L}$. (На самом деле, здесь можно взять любую гладкую функцию, периодическую по $t$ и принимающую нужные краевые условия). И ищем решение в виде $u=w + \bar u$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде
$\bar u_t - (F(w_x + \bar u_x))_x + w_t = 0$
При этом $\bar u(0,t) = \bar u(L,t) = 0$. Для решения этого уравнения, применяем стационарный метод Галеркина.

Пусть $Y_n(x)$ - базис в $W^1_2(0,L)$, $Y_n(0) = Y_n(L) = 0$.
Для всяких $n,k$ обозначим $E_{nk} \subset L_2(Q)$ - подпространство, натянутое на вектора $Y_i(x),Y_i(x)\sin (2j\pi t /T),Y_i(x)\cos (2j\pi t /T)$. Далее, обозначим $L_2$-проектор на это пространство - $P_{nk}$. Отметим, что пространство $E_{nk}$ содержит периодические по $t$ функции, обращающиеся в 0 на краях $x=0$ и $x=L$. Кроме того, оператор дифференцирования по $t$ действует из $E_{nk}$ в $E_{nk}$.
В пространстве $E_{nk}$ рассмотрим уравнение (приближение по Галеркину)
$L_{nk}v \equiv v_t - P_{nk}(F(w_x + v_x))_x + P_{nk}w_t = 0$
Докажем, что для некоторого $R$ справедливо неравенство $(L_{nk}v,v) > 0$, если только $\|v_x\|_2 = R$. Тогда по лемме Вишика в шаре $\|v_x\|_2 \leqslant R$ найдется решение уравнения $L_{nk}v = 0$. Очевидные преобразования дают

$(L_{nk}v,v) = \int \limits_Q (F(w_x + v_x)v_x + w_tv)dxdt \geqslant a\|w_x + v_x\|_2^2 - C \|v_x\|_2$
Отсюда $(L_{nk}v,v) >0$, если только норма $\|v_x\|_2$ достаточно велика (равномерно по $n,k$).
Таким образом, решение $v$ существует и равномерно ограничено по $n,k$. Отсюда, скорее всего, уже можно вытащить существование обобщенного решения. Но мы еще упростим нашу задачу. Для этого рассмотрим $(L_{nk}v,v_t)$. Как уже отмечалось, $E_{nk}$ инвариантно относительно оператора дифференцирования по $t$. Посему это эквивалентно действию "умножим уравнение на $v_t$ и проинтегрируем по частям". Получим
$\int \limits_Q (v_t^2 +w_tv_t + F(w_x+v_x)v_{xt})dxdt = 0$
Отсюда, с учетом оценки на $v_x$, получаем равномерную оценку

$\int \limits_Q v_t^2dxdt \leqslant C$
Обозначим найденное решение, как $v_{nk}$.
Теперь уже можно переходить к пределу. Главная проблема - нелинейность по $v_x$. Применяем метод монотонности. Дело упрощается тем, что у нас есть оценка на $v_t$, поэтому не нужна возня со следами, при интегрировании по частям.
Итак, стандартные заклинания. Из последовательности решений $v_{nk}$ выбираем подпоследовательность, такую, что $(v_{nk})_t$ и $(v_{nk})_x$ и $F((w + v_{nk})_x)$ слабо сходятся в $L_2(Q)$. Тогда сами $v_{nk}$ будут сходиться сильно в $L_2(Q)$. Речь идет о некой подпоследовательности, но этого не надо бояться (с этим мы разберемся позже).
$(v_{nk})_t \rightharpoonup \bar u_t$
$(v_{nk})_x \rightharpoonup \bar u_x$
$F((w + v_{nk})_x) \rightharpoonup \chi $
Стандартные рассуждения из метода монотонности дают
$\chi = F(w_x + \bar u_x)$
а значит, $u = w + \bar u$ - решение задачи. Поскольку $u_t \in L_2(Q)$, из уравнения получаем и $u_{xx} \in L_2(Q)$.
Но это сходимость какой-то подпоследовательности. А как же вся последовательность? Докажем, что и вся последовательность сходится к этому пределу. Рассуждение стандартное и опирается на теорему единственности. Как я уже показывал раньше, имеет место теорема единственности. Она нам сейчас пригодится. Итак, пусть последовательность НЕ сходится к решению. Тогда найдется некая подпоследовательность, такая , что $v_{nk} \not \to\bar u$ в $L_2(Q)$. Но применяя к ней те же самые рассуждения, получим, что из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. И сходится эта подпоследовательность к решению задачи. А оно единственно. Противоречие.

Тем самым, мы доказали, что решение существует и единственно. Последовательность приближений Галеркина сходится к решению. Правда мы лишь показали слабую сходимость производных. На самом деле, легко показать, что $(v_{nk})_x$ сходится к $\bar u_x$ сильно в $L_2(Q)$.
Далее, если надо, требуем гладкость от $\varphi(t)$ и получаем оценки на $v_{xt}$. Отсюда получаем сильную сходимость $v_{nk} \to \bar u$ в $C(\bar Q)$ и, вроде бы, можно получить сильную сходимость в $L_2(Q)$ и для $(v_{nk})_t$. А можно поработать со спец. базисом ( синусы в качестве $Y_k(x)$) Но, лень разбираться.

[IgorS]

Спасибо.

[IgorS]

Не нужны синусы по $x$ (никому). По пространственным переменным сетка, и в элементах полиномы Лагранжа (или Эрмита, что гораздо реже). Это простейшая задача метода конечных элементов, которым я имею "несчастье" заниматься. И в периодическом случае попытался сделать по времени тригонометрический полином...

[sup]

IgorS в сообщении #914054 писал(а):

Не нужны синусы по $x$ (никому).

Экий Вы капризный. (Я, конечно, слыхал про такие "проблемы" у вычислителей.) Ну и ладно. А если от этого у Вас сходимость улучшится? Тоже наплевать?
Мое дело маленькое. В случае тех самых "гадких" синусов, можно гарантировать оценку для вторых производных по $x$ на Галеркинских приближениях. А вот для других базисов я этого утверждать не могу, да и, скорее всего, это не так. Если Вы заметите, я и НЕ ПРЕДЛАГАЛ спец. базис по синусам, а показал "приличную" сходимость приближений и без него. Но если Вам понадобится более сильная сходимость - знайте, ее можно получить с базисом из синусов.

[IgorS]

Все. Спасибо за общение. Восхищен Вашим долготерпением и работоспособностью. Рад был сотрудничеству.