Нахождение радиуса сходимости ряда с комплексной переменной

[Гизмо Магвай]

Имеется ряд вида:

$$ \frac 1 z -\frac 1 {z^2} + \frac 4 {z^3} -\frac 4 {z^4} +\frac 9 {z^5} -\frac 9 {z^6}- \dots$$

Нужно найти радиус сходимости.
Я представила этот ряд в виде разности двух рядов с четными и нечетными степенями z в знаменателе. Получила по формуле Даламбера для нахождения радиуса сходимости для каждого из двух рядов R=1.
Чему же тогда равен радиус сходимости исходного ряда?
Может я что-то неправильно посчитала, или формулу именно в этом случае использовать нельзя??
Буду очень признательна за любую информацию!

[Brukvalub]

Воспользуйтесь формулой Коши-Адамара.

[Гизмо Магвай]

А как найти радиус всего ряда, состоящего из разности двух с радиусами R=1

[Brukvalub]

Гизмо Магвай писал(а):

А как найти радиус всего ряда, состоящего из разности двух с радиусами R=1

Ряды могут вычитаться по-разному. Например, разность двух одинаковых рядов будет сходиться всюду, в других случаях радиус может остаться равным 1. Да и, вообще, Вы рассматриваете вовсе не степенной ряд, а ряд Лорана

[Гизмо Магвай]

Спасибо! Скажите, а нужно вообще этот ряд Лорана представлять в виде суммы двух? Просто нам преподаватель подсказал, что для нахождения радиуса сходимости придется его проинтегрировать или продифференцировать...

[Gordmit]

Не нужно записывать этот ряд в виде разности двух. Ваш ряд записывается одной общей формулой:

$$\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{\left[\frac{k+1}{2}\right]^2}{z^k}$$

(квадратные скобки означают целую часть). Вот к нему и применяйте формулу Коши-Адамара.

[Гизмо Магвай]

Благодарю за помощь, но в институте мы почему-то никогда не пользовались понятием целой части)). Поэтому не совсем понимаю как вычислить предел при $k стремящемся к бесконечности от корня $k-ой степени модуля квадрата целой части от числа (k+1/2). Извините, что пишу прописью, просто я новичок, и пока нет времени, чтобы разобраться как писать формулы((.

[незваный гость]

Для целой части выполнено неравенство: $x-1 < [x] \leq x$, не правда ли? Это позволяет оценить передельное поведение выражений с целой частью сверху и снизу.

[Гизмо Магвай]

Большое спасибо за помощь!! Попробую довести до конца)))

[Гизмо Магвай]

Оказывается, что, если ряд составлен из суммы двух рядов с равными радиусами сходимости R, то радиус сходимости этого ряда так же равен R..
Доказали, что ряд сходится при lzl больше 1.
Теперь появилась новая задача..вычислить этот ряд, вот здесь уже и потребуется дифференцирование и интегрирование, как сказал преподаватель..

[Brukvalub]

Гизмо Магвай писал(а):

Оказывается, что, если ряд составлен из суммы двух рядов с равными радиусами сходимости R, то радиус сходимости этого ряда так же равен R..

В общем случае это неверно.

[Гизмо Магвай]

Согласна, но в этом случае это так...))

[Brukvalub]

Согласен, в вашем случае это так.

[Gordmit]

Гизмо Магвай писал(а):

Согласна, но в этом случае это так...))

Только если вы так изначально утверждаете, то это нужно предварительно доказывать.