Как понять термин "касательная к графику функции"

[hawksylol]

Еще со школы мне было не совсем понятно, что такое касательно. Недавно почитал несколько книг по анализу, но так до конца и не понял.

m1 бесконечно близко приближается к m0, поэтому эта линия называется касательной. Но эта касательная еще пересекает график функции в точке q. А касательная по определению один раз пересекает график функции. Мне объяснили, что это так только в определенной окрестности. Но что такое окрестность? Почему окрестность не может быть такой большой, что линия пересекает несколько раз график.
На этом рисунке график функции показан в некоторой окрестности. Но возможно, что дальше он касается еще раз.

Почему так?

[ИСН]

В определении этого нет, вот и всё. Касательная может пересекать график один раз, два раза, пятьдесят раз, ни разу. Это не имеет никакого значения.

[Legioner93]

hawksylol в сообщении #913327 писал(а):

А касательная по определению один раз пересекает график функции. Мне объяснили, что это так только в определенной окрестности.

Не разговаривайте больше с этим человеком. Есть такие графики и такие касательные к ним, что в любой окрестности точки касания есть точки пересечения с графиком. Например $y=x^2 \sin{\frac{1}{x}}, \ x_0 = 0$,

[Munin]

ИСН
Вопрос-то направлен в сторону того, что такое касательная к графику $x^3\sin\tfrac{1}{x}$ в точке $x=0.$

Update: Пополненному точкой $(0,0),$ разумеется. А то она выколотая.

[ewert]

hawksylol в сообщении #913327 писал(а):

m1 бесконечно близко приближается к m0, поэтому эта линия называется касательной.

Нет, не поэтому.

hawksylol в сообщении #913327 писал(а):

А касательная по определению один раз пересекает график функции. Мне объяснили, что это так только в определенной окрестности. Но что такое окрестность?

Если Вы прочитали уже целых несколько книг, то обязаны знать, что такое окрестность. Впрочем, формулировка эта, во-первых, неаккуратна: не "в определённой", а "в хотя бы некоторой". Во-вторых (как справедливо намекнул Legioner93), применительно к именно графикам функций она как минимум бесполезна, и потому никто её и не применяет.

Munin в сообщении #913367 писал(а):

Вопрос-то направлен в сторону того, что такое касательная к графику $x^3\sin\tfrac{1}{x}$

Тогда уж лучше $x^{13}\sin\tfrac{1}{x}$ -- степень приятнее для глаза.

[mihailm]

Форум используется некими типа для тренировки троллинга, мне это не нравится.
hawksylol, что вам нужно?

[hawksylol]

mihailm
Мне действительно интересно, почему касательная(которая по определению пересекает график функции один раз) на самом деле пересекает его несколько раз и мы в праве все равно называть эту линию касательной. То есть чем отличается секущая от касательной.

[ewert]

hawksylol в сообщении #913397 писал(а):

касательная(которая по определению пересекает график функции один раз)

Нет такого определения.

[Otta]

hawksylol
Поскольку Вы прочитали несколько книг по анализу, то будьте добры, приведите хотя бы одно определение касательной именно из этих книг, а не из Ваших представлений о ней. Определение, пожалуйста. Иначе бессмысленно.

[hawksylol]

Otta

Частный случай, но все же, дальше не объясняется про количество касаний.
PS Да, я понимаю что кривая это не весь график функции.

[Otta]

Определение-то где? Общее которое?

[Munin]

hawksylol
Ещё принято указывать источник цитирования: автора и название.

[mihailm]

hawksylol в сообщении #913397 писал(а):

mihailm
Мне действительно интересно, почему касательная(которая по определению пересекает график функции один раз) на самом деле пересекает его несколько раз...

Касательная не пересекается с графиком, она касается графика (а вот сколько раз пересекается не важно), а вот пересекательные - пересекаются!
ПС А те касательные, которые касаются, но график не пересекают, называются касательные-непересекательные

[Munin]

Нет ничего плохого в том, что одни и те же понятия в разных разделах математики понимаются немного по-разному. Это имеет свои причины: где-то удобней и интересней одно, а где-то - другое. Разумеется, эти понятия в точности не совпадают, и их и не считают совпадающими. При желании, можно говорить о разных понятиях "касательная из элементарной геометрии", "касательная из математического анализа", и т. п. - только обычно незачем.

Интуитивно, касательная к кривой линии - это такая прямая, что кривая на каком-то малом участке примерно совпадает с этой прямой.

Отсюда, кстати, есть путь к обобщению: можно рассматривать не касательные прямые, а касательные линии второго порядка (например, окружности), третьего и так далее - для этого, соответственно, вводится понятие касания второго порядка и более высоких. Касательная окружность позволяет ввести понятие радиуса кривизны линии в точке. Касательная кривая третьего порядка - понятие кручения для кривой в пространстве.

[hawksylol]

Это из Фихтенгольца.
Otta
«прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку» Фихтенгольц дальше не объясняет сколько раз потом эта прямая пересекает график функции. А просто дает более полное определение.
Munin А какое наиболее часто встречающееся и полное определение касательной в математическом анализе?