Матан - производная

[StaticZero]

Имеется функция $f(x) = x^4 - 4x^3$. Требуется узнать уравнение касательной, которая касается графика $f(x)$ в двух точках.

Есть предложение делать через нахождение пары точек $a$ и $b$, в которых происходит касание.

Есть два уравнения:

$$\begin{cases} f'(a) = f'(b),\\ f(a) + f'(a)(x-a) = f(b) + f'(b)(x-b) \end{cases}$$

Тогда получается дикая крокодила, с которой непонятно, что делать:

$$\begin{cases} a^3 - 3a^2 = b^3 - 3b^2,\\ a^4 -4a^3 + 4(a^3 - 3a^2)(x-a) = b^4 -4b^3 + 4(b^3 - 3b^2)(x-b) \end{cases}$$

Может быть, есть какой-то нормальный способ решить задачу? Спасибо.

[popolznev]

Икс там не нужен. Вы возьмите координаты одной точки и подставьте в уравнение касательной к графику во второй точке.

[mihailm]

Второе уравнение системы оно совсем неудачное. Вы хотели записать что две прямые совпадают? А когда по вашему две прямые, записанные в стандартном школьном виде совпадают?

[Aritaborian]

...И таким образом из второго уравнения крокодилы мы делаем систему из двух уравнений. (А первое вообще выкидываем.)

[StaticZero]

mihailm в сообщении #912924 писал(а):

Второе уравнение системы оно совсем неудачное. Вы хотели записать что две прямые совпадают? А когда по вашему две прямые, записанные в стандартном школьном виде совпадают?

Пусть даны прямые $ax + by + c = 0$ и $dx + ey + f = 0$. Они совпадают, если $a = dn, b = en, c = fn, n \in \mathbb R$



Берём в качестве точки $M = (a, f(a))$. Уравнение касательной в точке $b$:

$y = f(b) + f'(b)(x-b)$
$y(a) = f(a) = f(b) + f'(b)(a-b)$
$f(a) - f(b) = f'(b)(a-b)$
$a^4 - 4a^3 - b^4+ 4b^3 = 4(b^3 - 3b^2)(a-b)$
$(a^4 - b^4) - 4(a^3 - b^3) = 4(a-b)(b^3 - 3b^2)$

Второе уравнение - $a^3 - 3a^2 = b^3 - 3b^2$. Так? Получилось, кстати, тоже самое.

[Aritaborian]

Теперь нужно решить и отбросить лишние решения.

[StaticZero]

Решать такое не получается. Подставлять куски выражений - не приводит ни к чему, а скобки раскрывать - сомнительная идея..

-- 27.09.2014, 23:14 --

Скажем так, условия на отбрасывания решений $a \neq b$, $a < 0$, $0 < b < 3$.

[mihailm]

StaticZero в сообщении #912928 писал(а):

...Пусть даны прямые $ax + by + c = 0$ и $dx + ey + f = 0$. Они совпадают, если $a = dn, b = en, c = fn, n \in \mathbb R$

Прямо какая-то не совсем здоровая любовь к усложнениям. В школьном виде прямые, в таком в котором $y$ слева, а остальное справа

[StaticZero]

mihailm в сообщении #912935 писал(а):

Прямо какая-то не совсем здоровая любовь к усложнениям. В школьном виде прямые, в таком в котором $y$ слева, а остальное справа

Они совпадают тогда, когда угловые коэффициенты равны и коэффициенты сдвига равны (для прямых $u = ax + b, v = cx + d$ это значит, что $a = c, b = d$ соответственно).

-- 27.09.2014, 23:31 --

Сделал некоторые упрощения:

$$\begin{cases} a(a-2)^2 = (b^2 + ba - 4b), \\ a^3 - b^3 = 3(a^2 - b^2) \end{cases}$$

[redicka]

Все решается и вот картинка.

[Aritaborian]

StaticZero в сообщении #912936 писал(а):

Сделал некоторые упрощения

Можно и ещё упростить.

[Утундрий]

Задачку составлял фанат раскрытия выражения $\frac{{b^n - a^n }}{{b - a}}$

[StaticZero]

redicka в сообщении #912941 писал(а):

Все решается и вот картинка.
Изображение

Эскиз графика и единственность пары таких точек очевидна. Найти эти точки большая проблема, чем нарисовать.

-- 28.09.2014, 00:05 --

$$\begin{cases} a-3 = (a^2 - 3a + 1)^2 (b-3), \\ (a^2 - 3a + 1)a = -b \end{cases}$$

-- 28.09.2014, 00:06 --

(Оффтоп)

Уж слишком долго и муторно решается типовая школьная задачка. По крайней мере, для меня.

[Утундрий]

Перейдите к переменным $a+b$ и $ab$, может полегчает?

[redicka]

StaticZero в сообщении #912951 писал(а):

redicka в сообщении #912941 писал(а):

Все решается и вот картинка.
Изображение

Эскиз графика и единственность пары таких точек очевидна. Найти эти точки большая проблема, чем нарисовать.

-- 28.09.2014, 00:05 --

$$\begin{cases} a-3 = (a^2 - 3a + 1)^2 (b-3), \\ (a^2 - 3a + 1)a = -b \end{cases}$$

-- 28.09.2014, 00:06 --
Во-первых, это не эскиз, а график и касательная построенная по найденным точкам.
И рисовал не я, а матпакет

(Оффтоп)

Уж слишком долго и муторно решается типовая школьная задачка. По крайней мере, для меня.