Оценка огибающей периодической функции

[askrotov]

Евгений, спасибо за разбор.
Над первым параграфом Вашего ответа я подумаю.

Цитата:

Замечу, что результат не будет огибающей в каком-либо употребительном смысле этого слова.

А чем, по Вашему, являются $tM_j,bM_j$?

[Евгений Машеров]

Честно говоря. не знаю. Попробуйте приложить эту процедуру к синусоиде. У неё огибающая - константа. Получится такое?

[askrotov]

Евгений, спасибо за наводящий вопрос.

Если $K_i=\sin (2\pi \frac {ik}{N_t}), i=0,1..N_t-1, k -$ количество периодов на интервале $N_t$, то получится: $tM_j=\max \nolimits_{i=0}^{N_t-1}(M_{ij})=2^j-\alpha _t, bM_j=\min \nolimits_{i=0}^{N_t-1}(M_{ij})=-2^j+\alpha _b$, где $0\leqslant \alpha _t, \alpha _b\leqslant H(k)$.

Для других исследуемых величин (температура, влажность, давление) ситуация аналогичная, только $H$ зависит от характеристик самих величин (температура, влажность, давление).

(Оффтоп)

К счастью, я ничего не открыл кроме своих глаз.

[Евгений Машеров]

Ну вот, а огибающая, как она обычно определяется, через преобразование Гильберта, скажем, будет константа. Ну, или можно "радиотехнически", выпрямив сигнал (взяв абсолютную величину) и пропустив через НЧ-фильтр, или интерполируя по максимумам, как у Хуанга. В любом случае должна получиться константа, причём единица.
Возможно, Вам нужно что-то иное, что Вы отчего-то именуете "огибающей" - но я не понимаю, что и зачем.

[askrotov]

askrotov в сообщении #912572 писал(а):

Если $K_i=\sin (2\pi \frac {ik}{N_t}), i=0,1..N_t-1, k -$ количество периодов на интервале $N_t$, то получится: $tM_j=\max \nolimits_{i=0}^{N_t-1}(M_{ij})=2^j-\alpha _t, bM_j=\min \nolimits_{i=0}^{N_t-1}(M_{ij})=-2^j+\alpha _b$, где $0\leqslant \alpha _t, \alpha _b\leqslant H(k)$.

Я забыл для $K_i=\sin (2\pi \frac {ik}{N_t}), i=0,1..N_t-1$ параметры $a=\pm 1, b=1$. Если взять логарифм от $tM_j$ при малых $k: \alpha _t=0$, то получим $j\ln (2)$ с коэффициентом наклона $\ln (2)>\frac 1 {\sqrt[3]{\pi }}$, но это "идеальный вариант". Для реальных температуры, влажности, давления получается $\frac 1 {\sqrt[3]{\pi }}$ с точностью $\pm 1\% $.

Евгений Леонидович, если для $M_{ij}(K_i)$, где $K_i=\sin (2\pi \frac {ik}{N_t}), i=0,1..N_t-1$ взять параметры $a=1, b=2$, то при малых $k$ "огибающие" в моем понимании: $tM_j=1, bM_j=-1$. Для температуры я график уже показывал в моем сообщении с 4 графиками (3 график).

И еще одно замечание: у меня "огибающая" не одной кривой, а серии из $N_t$ кривых по координате $j$. Это скорее всего ближе к

Цитата:

интерполируя по максимумам, как у Хуанга

, так как я провожу линию именно по максимумам и минимумам массива из $N_t$ кривых для каждой точки $j$.

[Евгений Машеров]

Термин, конечно, Вы можете ввести произвольно. Но, если он совпадает с уже употребляющимся в этой области, желательно с ним согласовать. Сохранив какие-то свойства ранее употреблявшегося. Скажем, то, что для синусоиды огибающая - константа (и для константы, разумеется).
Может быть, вам стоило бы подробнее описать, для какой задачи Вы вводите этот объект?

[askrotov]

Хорошо, не "огибающие", а наибольшее и наименьшее значение конечной суммы $(a=1,b=1)$, конечной разности $(a=-1,b=1)$, конечной полусуммы $(a=1,b=2)$, конечной полуразности ($a=-1,b=2)$ на интервале времени $i=0,1..N_t-1$ (в формулах для $tM_j, bM_j$ в первом посте так и записано).

Задача: определить направление изменения климатических факторов на $n$ часов, дней, недель вперед (кажется, я это уже писал в оффтоп), а с нормированными значениями я на один шаг вперед знаю диапазон не только самой величины $K_i$, но и ее конечных разностей и сумм $M_{ij}$. На рисунке
увеличенный интервал около нуля второго графика из моего поста с четырьмя графиками. Пунктирные кривые как раз показывают значения конечных разностей и сумм $M_{ij} (a=\pm 1,b=2)$ на 2 шага вперед :
1 шаг вперед:

• - красные;

2 шага вперед:

• - сиреневые, если на предыдущем "красном" шаге $K_i=-1$;
• - голубые, если на предыдущем "красном" шаге $K_i=0$;
• - синие, если на предыдущем "красном" шаге $K_i=1$.

[Lukum]

askrotov в сообщении #913492 писал(а):

Задача: определить направление изменения климатических факторов на $n$ часов, дней, недель вперед

Хорошая задача. Давайте подумаем, когда и почему, и какие вещи могут нам в этом помочь.

[askrotov]

Lukum, на Ваш вопрос

Цитата:

какие вещи могут нам в этом помочь

Здесь изображена матрица $M_{ij}(K_i(T),a=1,b=2)$ от температуры. По горизонтальной оси слева на право растет время $i$, по вертикальной вверх приращения $j$. Зеленые области - это положительные значения, красные - отрицательные, чем больше по модулю величина $M_{ij}$, тем насыщеннее цвет.

[Евгений Машеров]

Моя интерпретация картинки:
Ваша процедура представляет собой низкочастотный фильтр, результат которого домножен на экспоненту. Фильтр применяется многократно, так что каждая последующая итерация даёт всё более низкие частоты. Затем от результата Вы вычисляете разность, что есть ВЧ-фильтр. Совместное действие НЧ- и ВЧ-фильтров даёт полосовой фильтр. Выделяющий синусоиду. Поскольку частота среза НЧ-фильтра постоянно понижается, с каждой итерацией, то полосовой фильтр вырезает всё более низкие частоты. Так как на входе случайный сигнал, то выделенный результат есть случайный узкополосный сигнал.
Артефакт обработки, разновидность эффекта Слуцкого-Юла.

[askrotov]

Евгений Леонидович, спасибо за разъяснения и ссылку на эффект Слуцкого-Юла.

(Оффтоп)

Этот пост (как и вся ветка в целом) - обкатка объяснения на словах того, что у меня получилось

Если на предыдущем моем рисунке ось времени $(i)$ направить вниз, то получим

Здесь черными границами отмечена величина $M_{i0}(b=2)=K_i$, слева от нее $M_{ij}(a=1,b=2)$, справа $M_{ij}(a=-1,b=2)$ и там и там итерации $j$ идут от $K_i$.

Если посмотреть на величины $M_{ij}, j=-3,-2,-1,0,1,2,3$ вдоль оси $i$, то получим


Если двигаться со смещением -1 по $j$ вдоль голубых квадратов


Если двигаться со смещением -2 по $j$ вдоль зеленых квадратов


Если двигаться со смещением 1 по $j$ вдоль красных квадратов


Двигаться со смещением по $j$ нужно от какой-то конкретной точки по времени $i$. Горизонтальная ось на графиках - это смещение по времени относительно выбранной точки.