Неравенство треугольника и выпуклость единичного шара.

[demolishka]

Никак не могу понять, почему из выпуклости единичного шара следует неравенство треугольника для нормы. Получается доказать только в случае, когда $\|x\|=\|y\|=R$: $\|\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\| \leq R \Rightarrow \|x+y\| \leq 2R = \|x\|+\|y\|$. Если же длины различны, то с оценкой нормы суммы беда. Можно провести через $x$ и $y$ шар с центром в точке $t$ радиуса $R$(причем возникает вопрос о его существовании). Тогда по аналогии получим: $\|x-t+y-t\| \leq \|x-t\|+\|y-t\|$. Но непонятно, что это дает.

[Red_Herring]

Условие выпуклости: $|| t x+ (1-t)y\|\le 1$ при условии $\|x\|\le 1$, $\|y\|\le 1\|$, $0\le t\le 1$. Возьмем произвольные $u$, $v$ и положим $x=u/\|u\|$, $y=v/\|v\|)$ и $t=\|u\|/(\|u+\|v\|$.