2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство треугольника и выпуклость единичного шара.
Сообщение26.09.2014, 23:45 
Аватара пользователя
Никак не могу понять, почему из выпуклости единичного шара следует неравенство треугольника для нормы. Получается доказать только в случае, когда $\|x\|=\|y\|=R$: $\|\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\| \leq R \Rightarrow \|x+y\| \leq 2R = \|x\|+\|y\|$. Если же длины различны, то с оценкой нормы суммы беда. Можно провести через $x$ и $y$ шар с центром в точке $t$ радиуса $R$(причем возникает вопрос о его существовании). Тогда по аналогии получим: $\|x-t+y-t\| \leq  \|x-t\|+\|y-t\|$. Но непонятно, что это дает.

 
 
 
 Re: Неравенство треугольника и выпуклость единичного шара.
Сообщение27.09.2014, 01:43 
Аватара пользователя
Условие выпуклости: $|| t x+ (1-t)y\|\le 1$ при условии $\|x\|\le 1$, $\|y\|\le 1\|$, $0\le t\le 1$. Возьмем произвольные $u$, $v$ и положим $x=u/\|u\|$, $y=v/\|v\|)$ и $t=\|u\|/(\|u+\|v\|$.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group