Аксиома выбора образует замкнутый круг?

[red_alert]

Не понимаю смысл введения аксиомы выбора.
Мы задаемся вопросом, как именно извлечь из произвольного множества один элемент. Для этой цели вводим аксиому выбора, которая утверждает, что для всякого семейства непустых множеств существует функция выбора. Но почему мы не задаемся вопросом, как именно выбрать эту функцию выбора из множества функций выбора для данного семейства?

[Oleg Zubelevich]

ну задайтесь таким вопросом

[red_alert]

Я не вижу способа это сделать в общем случае конструктивно

[ИСН]

Аксиома выбора не гарантирует нам никакого множества функций выбора. Она гарантирует одну такую функцию.
Если же Вы решили искать противоречия между аксиомой выбора и конструктивным подходом, то да, тут их будет в избытке.

[red_alert]

Но она и не говорит о том, что такая функция ровно одна. Разве нельзя перефразировать аксиому так: "Для любого семейства непустых множеств множество функций выбора непусто"?
И чем тогда отличается извлечение элемента из множества функций выбора от извлечения элемента из любого другого непустого множества?

[Oleg Zubelevich]

ИСН в сообщении #912164 писал(а):

Аксиома выбора не гарантирует нам никакого множества функций выбора. Она гарантирует одну такую функцию.

я думаю, что если из одного из множеств исключить элемент, на который указала функция выбора и применить аксиому выбора к полученным множествам, то мы сразу получим еще одну функцию выбора для исходных множеств. Вообщем единственная функция выбора будет только если в каждом множестве лишь по одному элементу

[ИСН]

Она, конечно же, не одна. Но нам дают - одну. Выбирать функцию не надо: вот она.

red_alert в сообщении #912166 писал(а):

Разве нельзя перефразировать аксиому так

Нельзя: получим замкнутый круг.

[red_alert]

ИСН в сообщении #912175 писал(а):

red_alert в сообщении #912166 писал(а):

Разве нельзя перефразировать аксиому так

Нельзя: получим замкнутый круг.

То-то и оно... Но в чем некорректность переформулировки? Разве не верно, что $\exists x \in X \Leftrightarrow X \ne \emptyset$?

[arseniiv]

red_alert в сообщении #912154 писал(а):

Мы задаемся вопросом, как именно извлечь из произвольного множества один элемент. Для этой цели вводим аксиому выбора

Нет же. Не для этого. Про выбор одного элемента из одного множества она ничего не говорит.

[Xaositect]

ИСН в сообщении #912175 писал(а):

red_alert в сообщении #912166 писал(а):

Разве нельзя перефразировать аксиому так

Нельзя: получим замкнутый круг.

Вообще-то можно. Аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что произведение непустого семейства непустых множеств непусто. И $z\neq \varnothing \Leftrightarrow \exists x \in z$ верно.

[red_alert]

Xaositect в сообщении #912250 писал(а):

ИСН в сообщении #912175 писал(а):

red_alert в сообщении #912166 писал(а):

Разве нельзя перефразировать аксиому так

Нельзя: получим замкнутый круг.

Вообще-то можно. Аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что произведение непустого семейства непустых множеств непусто. И $z\neq \varnothing \Leftrightarrow \exists x \in z$ верно.

В такой формулировке стало более понятно. Произведение конечного семейства непустых множеств непусто - это ясно и без аксиомы выбора. Бесконечного - только с аксиомой (в общем случае; в частных можно обойтись без нее). Стало быть, извлечь из конечного числа множеств по одному элементу можно и без аксиомы выбора. Я правильно понимаю?

[Xaositect]

red_alert в сообщении #912278 писал(а):

В такой формулировке стало более понятно. Произведение конечного семейства непустых множеств непусто - это ясно и без аксиомы выбора. Бесконечного - только с аксиомой. Стало быть, извлечь из конечного числа множеств по одному элементу можно и без аксиомы выбора. Я правильно понимаю?

Да.

[Someone]

red_alert в сообщении #912166 писал(а):

Разве нельзя перефразировать аксиому так: "Для любого семейства непустых множеств множество функций выбора непусто"?

Можно, но не нужно. Появится лишний шаг в рассуждениях.

ИСН в сообщении #912164 писал(а):

Если же Вы решили искать противоречия между аксиомой выбора и конструктивным подходом, то да, тут их будет в избытке.

Нет. Неконструктивность аксиомы выбора точно такая же, как у рассуждения "множество $A$ непустое, поэтому существует элемент $x\in A$". Она вызвана просто тем, что элемент, существование которого утверждается, не определяется конструктивно.
На самом деле, если множества определены конструктивно, и можно конструктивно показать, что каждое из них не пустое, то есть, конструктивно указать элемент в каждом из них, то до функции выбора один шаг. Поэтому в конструктивной математике аксиома выбора есть, хотя и с какими-то ограничениями на структуру определения семейства множеств.