Проверка гипотезы с помощью неравенства Бернулли

[Black Wolf]

Здравствуйте, Уважаемые пользователи форума!
При чтении книги А.И. Орлова "Прикладная статистика" споткнулся на следующем:
В главе 2.2. События и вероятности приводится следующий пример того как можно применить теорему Бернулли для проверки статистической гипотезы:

Теорема Бернулли

Пусть $ m $ — число наступлений события $ A $ в $ k $ независимых (попарно) испытаниях, и $ p $ есть вероятность наступления события $ A $ в каждом из испытаний. Тогда при любом $ \varepsilon > 0 $ справедливо неравенство (12)

$ P \left \{ \left| \frac{m}{k} - p \right| \geqslant \varepsilon \right \} \leqslant \frac{p(1 - p)}{k\varepsilon^2} $ (12)

Пусть из 100 000 единиц продукции 30 000 оказались дефектными. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности равна 0,23? Прежде всего, какую вероятностную модель целесообразно использовать? Принимаем, что проводится сложный опыт, состоящий из 100 000 испытаний 100 000 единиц продукции на годность. Считаем, что испытания (попарно) независимы и что в каждом испытании вероятность того, что единица продукции является дефектной, равна p. В реальном опыте получено, что событие «единица продукции не является годной» осуществилось 30 000 раз при 100 000 испытаниях. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности $ p = 0{,}23 $?

Для проверки гипотезы воспользуемся неравенством (12). В рассматриваемом случае $ k = 100\,000 $, $ m = 30\,000 $, $ \frac{m}{k} = 0{,}3 $, $ p = 0{,}23 $, $ \frac{m}{k} - p = 0{,}07 $. Для проверки гипотезы поступают так. Оценим вероятность того, что $ \frac{m}{k} $ отличается от p так же, как в рассматриваемом случае, или больше, то есть оценим вероятность выполнения неравенства $ \left| \frac{m}{k} - 0{,}23 \right| > 0{,}07 $. Положим в неравенстве (12) $ p = 0{,}23 $, $ \varepsilon = 0{,}07 $. Тогда

$ P\left \{ \left| \frac{m}{k} - 0{,}23 \right| \geqslant 0{,}07 \right \} \leqslant \frac{0{,}23 \cdot 0{,}77}{0{,}0049k} \approx \frac{36{,}11}{k} $. (13)

При $ k = 100\,000 $ правая часть (13) меньше $ \frac{1}{2500}$. Значит, вероятность того, что отклонение будет не меньше наблюдаемого, весьма мала. Следовательно, если исходная гипотеза верна, то в рассматриваемом опыте осуществилось событие, вероятность которого меньше $ \frac{1}{2500} $, и поскольку это очень малое число, то исходную гипотезу надо отвергнуть.

Я никак не могу понять, какое событие осуществилось с вероятностью меньше $ 1/2500 $ и почему вообще именно с такой вероятностью? Ведь неравенство наоборот говорит, что вероятность того, что среднее значение частоты будет отличаться от $ p = 0.23 $ не менее чем на $ 0,07$ не превышает $ 1/2500 $, т.е. вероятность того, что принятое нами значение вероятности отказа $ p $ наоборот очень близко к среднему арифметическому частоты отказа и эту гипотезу надо принять.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Black Wolf
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»