Оценка огибающей периодической функции

[askrotov]

Уважаемый форум,

Помогите разобраться, на сколько тривиален результат.

Берем временной ряд, допустим температура воздуха, измеренная каждые 20 минут за последние 10 лет на одной метеостанции (более 70000 измерений). Делим ряд на части, равные допустим 1 суткам. Для каждых суток находим 4 значения: $O_i - $ начальная температура $i$-х суток; $H_i - $ максимальная температура $i$-х суток; $L_i - $ минимальная температура $i$-х суток; $C_i - $ конечная температура $i$-х суток. Строим из них комбинацию:

$$ K_i=\begin{cases} 0,&\text{если $H_i=L_i$;}\\ \frac{C_i - O_i}{H_i - L_i},&\text{иначе.} \end{cases} $$

Видно, что $-1\leqslant K_i\leqslant 1 (i=0..N_t)$ при любых показаниях температуры. Всего получилось $N_t\approx 3700$ суток.

Далее построим $M_{ij}=\frac{M_{i(j-1)}+aM_{(i-1)(j-1)}} b, j=0..N_p, M_{0j}=0$ везде, за исключением $M_{00}=K_0$ как впрочем и все $M_{i0}=K_i$, $a,b=const$, $N_p -$ количество линейных комбинаций я ограничил 100.

В случае $a=1,b=1$ и при фиксированном $i$ получаем частные суммы, которые ведут себя как периодические функции от $j$ с экспоненциально растущей амплитудой, которая при $j=N_p$ может достигать $\pm 10^{29}$.

У меня получилась оценка сверху огибающей функции $M_{ij}$ при $a=\pm 1,b=1$. Верхняя огибающая $tM_{j}=\max_{i=0..N_t}{(M_{ij})}=t_0\exp{(t_1j)}$, нижняя огибающая $bM_{j}=\min_{i=0..N_t}{(M_{ij})}=-t_0\exp{(t_1j)}$. Причем, $t_0=1\pm 30\%$.

И собственно сам результат, о тривиальности которого я спрашиваю: $t_1=\frac 1 {\sqrt[3]{\pi}} \pm 1\%$ для разных временных рядов: температура воздуха, относительная влажность, атмосферное давление, сгенерированный белый шум: $(2RAND()-1)$ из LibreCalc.

С уважением,
Анатолий

PS: ткните в источники, если возможно.

[askrotov]

Скажите, пожалуйста, кто-нибудь использовал ранее выражения типа $M_{ij}$? Там при определенных значениях $b$ появляются биения, объяснить которые я не могу.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

askrotov в сообщении #910508 писал(а):

допустим температура воздуха

А ежели "не допустим", то курс акций? Для них цена Close и Open осмыслена, поскольку биржи не круглосуточны. А для метеостанций - нет. Там, если меряют с интервалом 20 минут, то всё время суток, и "открытия/закрытия" нет.

Если Вы возьмёте $b=a+1$, то у Вас получится экспоненциальное сглаживание. А вся Ваша процедура сведётся к p раз повторенному сглаживанию.
А если $(a+1)>b$, то у Вас будет расти экспоненциально.

[askrotov]

(Оффтоп)

Согласен, $K_i$ взял из Forex'а. Но применяю здесь. Причина - задача определить направление изменения климатических факторов на $n$ часов, дней, недель вперед. Другой нормированной конструкцией может быть $K_i=\frac {C_i-C_{i-1}} {H_i-L_i}$ при $H_i>L_i$ иначе $K_i=0$.

Можно ли конструкцию $M_{ij}$ представить в виде дифференциального уравнения с частными производными:
$\frac {\partial M(t,x)}{\partial t}=\alpha \frac {\partial M(t,x)}{\partial x}+\beta M(t,x)$ с граничными условиями $M(t=0,x)=0, M(t,x=0)=K(t)$, где $\alpha ,\beta$ функции от $a,b$? Правомерен ли такой переход?

[Евгений Машеров]

А зачем? Тут и в конечных разностях всё ясно.
А можно уточнить, что Вы имеете в виду под "огибающей"?

[askrotov]

Евгений Машеров в сообщении #911765 писал(а):

А можно уточнить, что Вы имеете в виду под "огибающей"?

Верхняя огибающая: максимальное значение $M_{ij}$, когда $i$ пробегает от 0 до $N_t-1$ при фиксированном $j$.

Нижняя огибающая: минимальное значение $M_{ij}$, когда $i$ пробегает от 0 до $N_t-1$ при фиксированном $j$.

[Евгений Машеров]

Нет, что Вы понимаете под огибающей периодической функции (я так понял - исходной?).
Потому, как обычно под этим термином понимают

нечто подобное сплошной жирной линии на нижнем рисунке.
А у Вас нечто иное.

[askrotov]

Евгений, я Вас понял. У Вас на картинке одна периодическая кривая и ее огибающая. Я неверно выразился, поправьте меня, пожалуйста. Обозначения из первого поста $tM_j, bM_j -$ это огибающие серии кривых (минимум и максимум из выборки $N_t$ последовательных интервалов времени при фиксированном $j$).
Для варианта $a=\pm 1,b=1$, чтобы наглядно разместить на графике, мне пришлось сделать следующие преобразования:

Горизонтальная ось $-N_p\leq j\leq N_p$, причем положительная полуось соответствует $a=-1$, а отрицательная $a=1$;
По вертикальной оси отложена величина $\operatorname{SGN} (M_{ij})\ln (|M_{ij}|)$, где $\operatorname{SGN} (x)=\begin{cases} 1,&\text{если $x>0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;}\\ -1,&\text{если $x<0$.} \end{cases}$



Здесь 10 последовательных интервалов времени отмечены кривыми с точками разных цветов.
Зеленая и красная прямые, как раз линейные аппроксимации логарифмов огибающих в моем понимании.

Ниже 5 последовательных интервалов для $a=\pm 1,b=2$ (здесь горизонтальная ось как на первом рисунке, по вертикали исходные $M_{ij}$):


Для варианта $a=1,b=2$ огибающие в моем понимании от $N_t$ кривых, по горизонтальной оси $j$:


И вопрос, который я вчера задавал. Для случая $a=1,b=2$, если посмотреть нижнюю огибающую $bM_j$ (синяя кривая, ось слева) и ее конечные разности $bM_j-bM_{j-1}$ (красная кривая, логарифмическая ось справа), то получим такую картинку:



Вопрос: с чем связано такое поведение?

[Lukum]

Приращения определенного периода больше, чем другие. Пики на красной кривой, наверное, соответствуют у вас неделям.

[askrotov]

По вертикальной оси минимум функции $M_{ij}$ по всей временной выборке от нормированных показаний температуры воздуха $K_i$ (первое сообщение), $j -$ индекс по приращениям для одной точки по времени. Поясните, пожалуйста, как эти биения связаны со временем.

Видно, что они делятся (не знаю, как выразиться) как четные всегда больше нечетных.

[Lukum]

Имхо, надо знать точную природу данных и процедуру манипуляций. Мы только в общем поняли, что вы там брали и что делали.
Как вариант, можно попробовать ваши $K_i$ умножить на $-1$ и вывести ту же картинку.

-- 25.09.2014, 12:41 --

Так это температура воздуха у вас на картинке последней?

[askrotov]

На последней картинке график минимумов $bM_j$ выборки по времени как функция индекса приращения $j$ от нормированной температуры воздуха за период от 9 июля 2002 по 29 мая 2013 (где-то у Черного моря). Если хотите, могу выслать в личку LibreOffice Calc файл с выкладками.

[Lukum]

Спасибо, не надо в личку )
Гипотеза, могу ошибаться, смотрел поверхностно, поскольку это многократные частичные суммы, то именно серединка используется по нескольку раз, т.е. это артефакт вашей процедуры построения матрицы.

[askrotov]

Какие варианты преодоления этого артефакта Вы можете предложить.

[Евгений Машеров]

Процедура расчёта включает предварительный этап, переход к безразмерным величинам, и основной, построение матрицы М.
Нулевая строка матрицы совпадает с полученными безразмерными величинами, а последующие получаются посредством процедуры, совпадающей с экспоненциальным сглаживанием с тем отличием, что каждое последующее значение умножается на коэффициент $\frac 1 b + \frac a b$, при указанных значениях больший единицы, что и вызывает экспоненциальный рост. Если избавиться от этого недостатка, взяв $a=b-1, a>0, b>0$, получим сглаживающий фильтр, довольно грубый (с малой крутизной среза частотной характеристики), выделяющий низкочастотную компоненту. Повторяя эту процедуру, будем выделять всё более низкочастотные составляющие (в пределе - прямую линию тренда или константу).
То есть это НЧ-фильтр, вместе сложный и с плохими характеристиками, как фильтра, непоправимо испорченный экспоненциальным ростом из-за выбора a и b.
Замечу, что результат не будет огибающей в каком-либо употребительном смысле этого слова.