ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4

[Феликс Шмидель]

Временно, пусть $x$ и $y$ - аргумент и значение исследуемой функции.
Пусть $y=(x+1)((x^2-14 x+5+4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2-1)+16$
Найдём производную этой функции:

y:=(x+1)*((x^2-14*x+5+4*sqrt(x*(-x^2+10*x-5)))/(x-1)^2-1)+16;
df(y, x);

Получим:

$y'=2 (16 x \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x}-x^4+6 x^3-52 x^2+10 x+5)/((x-1)^3 \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x})$.

Пусть $f(x)=x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5$.
Покажем, что если $x>0.5$, то $f(x)>0$.
Имеем: $f(x+0.5)=(16 x^4-64 x^3+712 x^2+608 x+37)/16$
Это получается следующим кодом:

(x+0.5)^4-6*(x+0.5)^3+52*(x+0.5)^2-10*(x+0.5)-5;

.
Если $0<x<10$, то $712 x^2>64 x^3$, следовательно $f(x+0.5)>0$.
Если $x>4$, то $16 x^4>64 x^3$, следовательно $f(x+0.5)>0$.
Значит, $f(x+0.5)>0$ для любого $x>0$.
Что и требовалось.

Имеем:

$y'=2 (256 x^2 (-x^3+10 x^2-5 x)-(x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5)^2)/((x-1)^3 \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x} (16 x \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x}+(x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5)))$.

Полином в числителе равен $2 (-x^8+12 x^7-140 x^6+388 x^5-254 x^4-300 x^3+420 x^2-100 x-25)=2 (x-1)^3 (-x^5+9 x^4-110 x^3+30 x^2+175 x+25)$.
Это получается следующим кодом:

z:=256*x^2*(-x^3+10*x^2-5*x)-(x^4-6*x^3+52*x^2-10*x-5)^2;
z/(x-1)^3;

Значит $y'=2 (-x^5+9 x^4-110 x^3+30 x^2+175 x+25)/(\sqrt{-x^3+10 x^2-5 x} (16 x \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x}+(x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5)))$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Если $x>0.5$, то знаменатель этого выражения производной больше нуля, поскольку мы показали, что $x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5>0$.
Полином в числителе делится на $x+1$.
Имеем: $-x^5+9 x^4-110 x^3+30 x^2+175 x+25=(x+1) (-x^4+10 x^3-120 x^2+150 x+25)$
Пусть $f(x)=-x^4+10 x^3-120 x^2+150 x+25$.

Тогда

$f(x+0.5)=(-16 x^4+128 x^3-1704 x^2-592 x+1139)/16$,

$f(x+1.5)=(-16 x^4+64 x^3-1416 x^2-2496 x+139)/16$,

$f(x+1.6)=(-625 x^4+2250 x^3-54600 x^2-108490 x-4871)/625$.

Это получается следующим кодом:

-(x+0.5)^4+10*(x+0.5)^3-120*(x+0.5)^2+150*(x+0.5)+25;
-(x+1.5)^4+10*(x+1.5)^3-120*(x+1.5)^2+150*(x+1.5)+25;
-(x+1.6)^4+10*(x+1.6)^3-120*(x+1.6)^2+150*(x+1.6)+25;

Члены полинома $f(x+1.5)$ меняют знак 3 раза, а полинома $f(x+1.6)$ - 2 раза, следовательно, согласно теореме Бюдана, полином $f(x)$ имеет один корень между $1.5$ и $1.6$.
Члены полинома $f(x+0.5)$ меняют знак 3 раза, и полинома $f(x+1.5)$- 3 раза, следовательно, согласно теореме Бюдана, полином $f(x)$ не имеет корней между $0.5$ и $1.5$.

Если $0<x<10$, то $54600 x^2>2250 x^3$, а если $x \ge 10$, то $625 x^4>2250 x^3$.
Следовательно, если $x>0$, то $f(x+1.6)<0$.

Значит, полином $f(x)$ имеет единственный положительный корень, который находится между $1.5$ и $1.6$.
Одна из программ, вычисляющих корни полиномов, выдала для этого корня следующее значение:

$x=1.55403658229985$.

Найдём выражения для $f(x+1.55403658229984)$ и $f(x+1.55403658229985)$:

-(x+1.55403658229984)^4+10*(x+1.55403658229984)^3-120*(x+1.55403658229984)^2+150*(x+1.55403658229984)+25;
-(x+1.55403658229985)^4+10*(x+1.55403658229985)^3-120*(x+1.55403658229985)^2+150*(x+1.55403658229985)+25;

Получим два полинома, члены первого из которых меняют знак 3 раза, а второго - 2 раза.
Следовательно, согласно теореме Бюдана, полином $f(x)$ имеет корень между $1.55403658229984$ и $1.55403658229985$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправление:

Цитата:

$f(x+0.5)=(-16 x^4+128 x^3-1704 x^2-592 x+1139)/16$,

исправляется на:

Цитата:

$f(x+0.5)=(-16 x^4+128 x^3-1704 x^2+592 x+1139)/16$,

[Феликс Шмидель]

Обозначим положительный корень полинома $f(x)=-x^4+10 x^3-120 x^2+150 x+25$ через $x_0$.
Мы показали, что $x_0$ находится между $1.55403658229984$ и $1.55403658229985$.
Поскольку $f(0.5)=1139/16>0$, то $f(x)>0$ на интервале $(5-2 \sqrt{5}, x_0)$.
Поскольку $f(1.6)=-4871/625<0$ и $x_0$ - единственный положительный корень полинома $f(x)$, то $f(x)<0$ на интервале $(x_0, 5+2 \sqrt{5})$.

Следовательно $y'>0$ на интервале $(5-2 \sqrt{5}, x_0)$, и $y'<0$ на интервале $(x_0, 5+2 \sqrt{5})$.
Значит, функция $y=(x+1)((x^2-14 x+5+4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2-1)+16$ возрастает на интервале $(5-2 \sqrt{5}, x_0)$ и убывает на интервале $(x_0, 5+2 \sqrt{5})$.
Вычислим значение максимума этой фунцкии в точке $x_0$:

x0=1.55403658229984
print (x0+1)*((x0^2-14*x0+5+4*sqrt(x0*(-x0^2+10*x0-5)))/(x0-1)^2-1)+16

Получим: $12.383873118831547879$.

Покажем, что на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$, $|y'|<1000$.
Имеем: $y'=2 (16 x \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x}-x^4+6 x^3-52 x^2+10 x+5)/((x-1)^3 \sqrt{-x^3+10 x^2-5 x})$.
Имеем: $(x-1)^3>0.5^3$ на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$.
Поскольку $|(-x^3+10 x^2-5 x)'|=|-3 x^2+20 x-5|<3 x^2+20 x+5<3 \cdot 2^2+20 \cdot 2+5= 49$ при $0<x<2$, то $|(-x^3+10 x^2-5 x)-(-x_1^3+10 x_1^2-5 x_1)|<0.001 \cdot 49<1$ на интервале $(x_1-0.001, x_1+0.001)$, где $x_1=1.55403658229984$.
Поскольку $-x_1^3+10 x_1^2-5 x_1=12.6270695799798337659$, то $9<-x^3+10 x^2-5 x<16$ на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$.
Следовательно, $3<\sqrt{-x^3+10 x^2-5 x}<4$ на этом интервале.
Поскольку
$|(x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5)'|=|4 x^3-18 x^2+104 x-10|<4 x^3+18 x^2+104 x+10<4 \cdot 2^3+18 \cdot 2^2+104 \cdot 2+10=322$
при $0<x<2$, то $|(x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5)-(x_1^4-6 x_1^3+52 x_1^2-10 x_1-5)|<0.001 \cdot 322<1$ на интервале $(x_1-0.001, x_1+0.001)$.
Поскольку $x_1^4-6 x_1^3+52 x_1^2-10 x_1-5=-5$ при $x_1=1.55403658229984$, то $-7<x^4-6 x^3+52 x^2-10 x-5<-3$ на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$.
Значит, $|y'|<2 (16 \cdot 2 \cdot 4+7)/(0.5^3 \cdot 3)=720$ на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$.
Значит, $|y'|<1000$ на интервале $(x_0-0.0001, x_0+0.0001)$.
Что и требовалось.
Это очень грубая оценка абсолютной величины производной в окрестности точки $x_0$, но вполне достаточная для того, чтобы утверждать, что значение функции $y$ меньше 13 в точке $x_0$ и, значит, на всём интервале $(5-2 \sqrt{5}, 5+2 \sqrt{5})$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Я заметил, что:

$(x+1)((x^2-14 x+5)/(x-1)^2-1)+16=4 (x^2-10 x+5)/(x-1)^2$ и

$(x-1)((x^2-14 x+5)/(x-1)^2+1)+16=2 (x^2-5)/(x-1)$.

Эти преобразования позволяют не оценивать функции $(x+1)((x^2-14 x+5 \pm 4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2-1)+16$ и $(x-1)((x^2-14 x+5 \pm \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2+1)+16$, как мы начали делать в предыдущих сообщениях.
Вместо этого, можно оценивать отношения

$\frac{(x+1)((x^2-14 x+5+4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2-1)+16}{(x+1)((x^2-14 x+5-4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2-1)+16}$ и

$\frac{(x-1)((x^2-14 x+5+4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2+1)+16}{(x-1)((x^2-14 x+5-4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)})/(x-1)^2+1)+16}$,

что нам и нужно.

Эти отношения преобразуются к виду:

$\frac{4 (x^2-10 x+5)+4 (x+1) \sqrt{x (-x^2+10 x-5)}}{4 (x^2-10 x+5)-4 (x+1) \sqrt{x (-x^2+10 x-5)}}$ и

$\frac{2(x^2-5)+4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)}}{2(x^2-5)-4 \sqrt{x (-x^2+10 x-5)}}$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Знаменатель второго отношения равен нулю при $x=5$, поэтому нельзя сделать то, что я собирался:

Цитата:

В дальнейшем мы собираемся доказать, что если $b_2$ не находится вблизи от $5+2 \sqrt{5}$, то $(b'_1-1)(b_2+1)+16$ и $(b'_1+1)(b_2-1)+16$ не находятся вблизи от нуля.

Пока непонятно, может ли выражение в правой части равенства:

$2000 \cdot 4^{15} (x y z)^{10}=c_2^{24} c_4^{24} ((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b_1+1)^2 (b_2+1)/((b_1-1) (b_2-1)^2)$

уменьшиться, если $b_2$ близко к $5$ при переходе от предыдущей точки к следующей в циклической группе точек.

Нужно проверить это на компьютере.

[Феликс Шмидель]

Доказать, что это выражение не может уменьшиться, если $b_2$ близко от $5$, а $b_1$ близко от $-5$ непросто (в этом случае $(b_2-1)(b_1+1)+16$ близко от нуля).
Зато несложно доказать, что если оно даже уменьшится, то в следующей точке, оно увеличится на бОльшую величину чем уменьшилось.
Это даёт нам значение отношения $\frac{x^2}{y z}$ или $\frac{y^2}{x z}$ (как мы собираемся показать далее) исходя из значений $b_2$ вблизи от $5$ и $b_1$ вблизи от $-5$.
Можно привлечь ещё случай $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное.
Интересно, что отношение чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$, скажем, к $a_4$ зависит только от $b_1$ и $b_2$.

Проверим, что
$a_0=(b_1-1) a_2^2/(4 a_4)$,
$a_1=(b_2-1) a_4^2/(2 a_2)$,
$a_3=-(b_1+1) a_2^3/(2 (b_2-1) a_4^2)$,
$a_2^5/a_4^5=4 (b_2-1) (b_2+1)/((b_1-1)(b_1+1))$:

(b1-1)*a2^2/(4*a4);
(b2-1)*a4^2/(2*a2);
-(b1+1)*a2^3/(2*(b2-1)*a4^2);
4*(b2-1)*(b2+1)/((b1-1)*(b1+1));

Проверено (с учётом выражений для $a_3$ из первых двух равенств (2)).

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправим код в предыдущем сообщении:

b1:=(a2^2+4*a0*a4)/a2^2;
b2:=(a4^2+2*a1*a2)/a4^2;

(b1-1)*a2^2/(4*a4);
(b2-1)*a4^2/(2*a2);
-(b1+1)*a2^3/(2*(b2-1)*a4^2);
4*(b2-1)*(b2+1)/((b1-1)*(b1+1));

Получается довольно большое значение для отношения $x^2/(y z)$ или $y^2/(x z)$, но я пока не вижу чему это противоречит.
Случай $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное, не даёт формулу (82), а даёт другую формулу, поэтому неясно, как этот случай использовать.

[Феликс Шмидель]

Займёмся выводом аналога формулы (82) для случая $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное.
Насколько возможно не будем делать различия между случаями, работая с равенствами:

(2)
$2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2=0$
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$
$a_0 a_1+2 a_2 a_4+a_3^2=0$

(90)
$a_0=(b_1-1) a_2^2/(4 a_4)$,
$a_1=(b_2-1) a_4^2/(2 a_2)$,
$a_3=-(b_1+1) a_2^3/(2 (b_2-1) a_4^2)$,
$a_2^5/a_4^5=4 (b_2-1) (b_2+1)/((b_1-1)(b_1+1))$:

(91)
$a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=5 a_0^2-10 a_2^2 a_4/a_3$
$2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=5 a_1^2-10 a_2 a_4^2/a_3$

(92)
$b_1=(a_2^2+4 a_0 a_4)/a_2^2$
$b_2=(a_4^2+2 a_1 a_2)/a_4^2$

Равенства (91) следуют из равенств (5.3.1) и (5.3.2) из "темы 5".

Докажем равенства:

(93)
$a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=(a_4^3/a_2) (5/4) ((b_2-1)/(b_1+1)) ((b_1-1)(b_2+1)+16)$
$2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=(a_4^4/a_2^2) (5/4) ((b_2-1)/(b_1+1)) ((b_1+1)(b_2-1)+16)$

b1:=(a2^2+4*a0*a4)/a2^2;
b2:=(a4^2+2*a1*a2)/a4^2;

u:=5/4*(b2-1)/(b1+1);

a4^3/a2*u*((b1-1)*(b2+1)+16);

a4^4/a2^2*u*((b1+1)*(b2-1)+16);

Получим:
$10 a_1 (a_0 a_1 a_2+a_0 a_4^2+2 a_2^2 a_4)/(2 a_0 a_4+a_2^2)$
$5 a_1 (2 a_0 a_1 a_4+a_1 a_2^2+4 a_2 a_4^2)/(2 a_0 a_4+a_2^2)$

Или (используя первое равенство (2))

$-(5/a_3) (a_0 a_1 a_2+a_0 a_4^2+2 a_2^2 a_4)$
$-(5/(2 a_3)) (2 a_0 a_1 a_4+a_1 a_2^2+4 a_2 a_4^2)$

Покажем, что:
(94)
$-(a_0 a_1 a_2+a_0 a_4^2+2 a_2^2 a_4)=a_0^2 a_3-2 a_2^2 a_4$,
$-(2 a_0 a_1 a_4+a_1 a_2^2+4 a_2 a_4^2)=2 a_1^2 a_3-4 a_2 a_4^2$.

Отнимая левую часть от правой в этих равенствах и сокращая на $a_0$ и $a_1$ получим:
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$,
$2 a_1 a_3+2 a_0 a_4+a_2^2=0$.

Мы получили первые два равенства (2).
Что и требовалось.

Равенства (93) следуют из равенств (91) и (94).

Мы продолжим вывод формулы (82) и её аналога в следующем сообщении.

[Феликс Шмидель]

Из равенств (93) следует:

(95) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3) (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^2=(a_4^{11}/a_2^5) (5^3/4^3) ((b_2-1)^3/(b_1+1)^3) ((b_1-1)(b_2+1)+16) ((b_1+1)(b_2-1)+16)^2$

Из первых двух равенств (2) и равенств (92) следует:

(96) $b_2+1=-2 a_0 a_3/a_4^2, b_1+1=-4 a_1 a_3/a_2^2$

Из равенств (92) следует:

(97) $b_1-1=4 a_0 a_4/a_2^2, b_2-1=2 a_1 a_2/a_4^2$.

Из (96) и (97) следует:

$(b_2-1)^3/(b_1+1)^3=\frac{(2 a_1 a_2)^3}{a_4^6}/\frac{(-4 a_1 a_3)^3}{a_2^6}=-(1/2^3) a_2^9/(a_4^6 a_3^3)$.

Значит:

(98) $(b_2-1)^3/(b_1+1)^3=-(1/2^3) a_2^9/(a_4^6 a_3^3)$.

Из (95) и (98) следует:

$(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3) (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^2=(a_4^{11}/a_2^5) (5^3/4^3) (-(1/2^3) a_2^9/(a_4^6 a_3^3)) ((b_1-1)(b_2+1)+16) ((b_1+1)(b_2-1)+16)^2$

или

(99) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3) (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^2=-(5^3/2^9)(a_2^4 a_4^5/a_3^3) ((b_1-1)(b_2+1)+16) ((b_1+1)(b_2-1)+16)^2$

Из (96) и (97) следует:

$(b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)=\frac{(-2 a_0 a_3/a_4^2) (4 a_1 a_3/a_2^2)^2}{(4 a_0 a_4/a_2^2)(2 a_1 a_2/a_4^2)^2}=-2 a_3^3 a_4/a_2^4=-2 \frac{a_4^5}{(a_2^4 a_4^4/a_3^3)}$.

Значит:

(101) $(b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)=-2 \frac{a_4^5}{(a_2^4 a_4^4/a_3^3)}$.

Из (99) и (101) следует:

(100) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)^5 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^{10}=(5^{15}/2^{46})(a_2^4 a_4^4/a_3^3)^6 ((b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)) ((b_1-1)(b_2+1)+16)^5 ((b_1+1)(b_2-1)+16)^{10}$

Покажем, что:

(102)
$a_2^4 a_4^4/a_3^3=(4/125) c_2^4 c_4^4$, в случае $x^2-y z g^2$, где $x$ - нечётное, и
$a_2^4 a_4^4/a_3^3=(8/125) c_2^4 c_4^4$, в случае $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное.

В случае $x^2-y z g^2$, где $x$ - нечётное, это проверяется следующим кодом:

d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*10*(d2*d4)^3;
a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

a2^4*a4^4/a3^3; 

В случае $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное, это проверяется следующим кодом:

d0:=d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*(5/2)*(d2*d4)^3;

a0:=2 d2^3*c0;
a1:=d4^3*c1;

a2^4*a4^4/a3^3; 

Поскольку $(5^{15}/2^{46})(4^6/125^6)=1/(5^3 \cdot 2^{34})=1/(2000 \cdot 4^{15})$,
то в случае $x^2-y z g^2$, где $x$ - нечётное, имеет место равенство (82) или:

(105) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)^5 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^{10}=(1/(2000 \cdot 4^{15})) c_2^{24} c_4^{24} ((b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)) ((b_1-1)(b_2+1)+16)^5 ((b_1+1)(b_2-1)+16)^{10}$

В случае $z^2-x y g^2$, где $z$ - чётное, имеет место равенство:

(106) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)^5 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^{10}=(1/(2000 \cdot 4^{12})) c_2^{24} c_4^{24} ((b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)) ((b_1-1)(b_2+1)+16)^5 ((b_1+1)(b_2-1)+16)^{10}$

Можно показать, что в (105): $b_1<0, b_2>0$, а в (106): $b_1>0, b_2<0$.