Устойчивость по определению

[1r0pb]

А уравнение такое: $2t\dot{x} =x-x^3,\ x(1)=0.$
Общее решение: $x(t)=\frac{ C\sqrt{t} }{ \sqrt{1+C^2t} }.$
Подставляя начальное значение, получаю $C=0.$ Т.е. частное решение $x(t)=0.$ Изменим начальное условие:

$x(1)=\widetilde{x}_0,\ \widetilde{x}(t)=\frac{ \widetilde{x}_0\sqrt{t} }{ \sqrt{1+{\widetilde{x}_0}^{2} (t-1)} }$.

Нетрудно убедиться, что $|\widetilde{x}_0|<1.$
Далее, пусть $\delta >0$ задано, т.е.

$|x_0-\widetilde{x}_0|=|\widetilde{x}_0|< \delta .$

Примем $\varepsilon =|\widetilde{x}_0|.$
Смотрим дальше:

$|x(t)-\widetilde{x}(t)|=\frac{ |\widetilde{x}_0|\sqrt{t} }{ \sqrt{1+{\widetilde{x}_0}^{2} (t-1)} }>\frac{ |\widetilde{x}_0|\sqrt{t} }{ \sqrt{1+(t-1)} }|=|\widetilde{x}_0|,\ t\geq 1.$

Из этого можно сделать вывод об отсутствии устойчивости.
Прошу проверить. Спасибо.

[alcoholist]

1r0pb в сообщении #911077 писал(а):

Нетрудно убедиться, что $|\widetilde{x}_0|<1.$

Это почему?

[1r0pb]

alcoholist в сообщении #911112 писал(а):

1r0pb в сообщении #911077 писал(а):

Нетрудно убедиться, что $|\widetilde{x}_0|<1.$

Это почему?

При $t=1:\ \widetilde{x}_0=\frac{ C }{ \sqrt{1+C^2} } .$

[Oleg Zubelevich]

полезно нарисовать фазовый портрет системы на плоскости $(t,x)$

[1r0pb]

Oleg Zubelevich в сообщении #911163 писал(а):

полезно нарисовать фазовый портрет системы на плоскости $(t,x)$

Я еще не дошел до них, поэтому отпадает такой вариант.:)

[Oleg Zubelevich]

ну тогда $\tau=\ln t$

-- Вт сен 23, 2014 22:24:55 --

последнее что следует делать в этой задаче, так это интегрировать уравнение в лоб

[1r0pb]

Oleg Zubelevich в сообщении #911169 писал(а):

ну тогда $\tau=\ln t$

-- Вт сен 23, 2014 22:24:55 --

последнее что следует делать в этой задаче, так это интегрировать уравнение в лоб

Первое куда совать?)

[Oleg Zubelevich]

Вам никуда. Раз Вы не в состоянии прикинуть графики решений на плоскости $t,x$ значит вам надо отправляться на первый семестр (а лучше в школу) и доучивать теоремы о возрастании\убывании функций в терминах производных. А до этой задачи вы просто не доросли.

[1r0pb]

Я одно хотел бы узнать: $|\widetilde{x}_0|<1$?

[ewert]

1r0pb в сообщении #911293 писал(а):

Я одно хотел бы узнать: $|\widetilde{x}_0|<1$?

А зачем Вам это знать? какое отношение этот вопрос имеет к устойчивости?... (даже независимо от его бессмысленности)

В данном конкретном случае никакие неравенства Вам вообще не нужны -- достаточно взглянуть на предел любого ненулевого решения на бесконечности.

[1r0pb]

Если я правильно понял, то: $ x(t)=\frac{ C\sqrt{t} }{ \sqrt{1+C^{2} t} }=\frac{ \sqrt{C^{2}t} }{ \sqrt{1+C^{2} t} }=\sqrt{1-\frac{1}{1+C^{2}t}}$, где с ростом времени координата стремится к единице.

[ИСН]

Возможно. И что? Зачем это нужно? Это что-то нам говорит об устойчивости нулевого решения? Если бы икс стремился к десяти, или к бесконечности, или вообще никуда - это бы привело к другим выводам?

[1r0pb]

ИСН в сообщении #911316 писал(а):

Это что-то нам говорит об устойчивости нулевого решения?

Да - её нет.

ИСН в сообщении #911316 писал(а):

Если бы икс стремился к десяти, или к бесконечности, или вообще никуда - это бы привело к другим выводам?

Нет.

[ИСН]

Вы правы, разумеется, что устойчивости нет. Но обосновывать это надо с помощью аргументов, имеющих отношение к делу, а не имеющих - не надо. Пожелтевшие листья бузины с огорода, стремление икса к единице, письма дядьки из Киева - это всё лишнее.

[ewert]

ИСН в сообщении #911339 писал(а):

Но обосновывать это надо с помощью аргументов, имеющих отношение к делу, а не имеющих - не надо.

Стремление любого ненулевого решения к одному и тому же ненулю имеет к устойчивости или неустойчивости самое что ни на есть прямое отношение.

Другое дело, что в задаче, скорее всего, вовсе не предполагалось использование явного вида решения -- это как-то вульгарно.