Задача про обобщённые функции : Анализ-II fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача про обобщённые функции
Сообщение14.12.2007, 03:25 


08/10/05
49
Найти такие функции $u \in D$ ($D$ - пространство бесконечно дифференцируемых на компакте обобщённых функций, тождественно равных нулю вне этого компакта), что $xu^{(k)} = \delta(x)$, $k = 1 \ldots n$ ($\delta(x)$ - дельта-функция).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про обобщённые функции
Сообщение14.12.2007, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
passenger писал(а):
Найти такие функции u \in D (D - пространство бесконечно дифференцируемых обобщённых функций, тождественно равных нулю вне этого компакта), что xu^{(k)} = \delta(x), k = 1 \ldots n (\delta(x) - дельта-функция).
Как это может быть? В левой части требуемых равенств стоит бесконечно дифференцируемая функция, а в правой - дельта-функция! На ум приходят только слова одного знакомого сисадмина: "Счастливы юзеры, и блаженны, ибо не ведают, что творят".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про обобщённые функции
Сообщение14.12.2007, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
passenger писал(а):
xu^{(k)} = \delta(x), k = 1 \ldots n (\delta(x) - дельта-функция).

Может все-таки вот так вот?
$$
u^{(k)}\to\delta(x),\quad k\to\infty
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2007, 17:32 


08/10/05
49
Разумеется, производная понимается в обобщённом смысле.

Например, $u(x) = -\delta(x) + C\theta(x) + C_1$ - решение уравнения $xu'(x) = \delta(x)$ ($\theta(x)$ - функция Хевисайда: $\theta(x) = 1$, если $x > 0$ и $\theta(x) = 0$ в противном случае; при этом $\theta'(x) = \delta(x)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2007, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Стало мне интересно, а вот дельта-функция в точке 1 чему равна? И бывают ли обобщенные функции, которые не являются бесконечно дифференцируемыми? А то, иначе, у меня все равно "сносит крышу" от фразы
passenger писал(а):
Найти такие функции u \in D (D - пространство бесконечно дифференцируемых на компакте обобщённых функций, тождественно равных нулю вне этого компакта), что xu^{(k)} = \delta(x), k = 1 \ldots n (\delta(x) - дельта-функция).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2007, 19:17 


08/10/05
49
Тысячекратно извиняюсь, запутался в терминологии. Рассматривается функция из пространства обобщённых функций D'(\mathbb{R}) - сопряжённого к пространству D(\mathbb{R}) финитных C^{\infty}-функций на \mathbb{R}.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2007, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
Сначала надо найти общее решение уравнения
$$xf=\delta(x),\qquad f\in D'(\mathbb R),$$
а затем проинтегрировать его $k$ раз. Чтобы найти $f$, заметим, что из уравнения получаем $\mathop{\mathrm {supp}} f\subset\{0\}$, поэтому $f=\sum_{n=0}^Nc_n\delta^{(n)}(x)$, $c_n\in\mathbb R$, $N\in\mathbb N$. Осталось подставить это в уравнение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group