Задача про обобщённые функции

[passenger]

Найти такие функции $u \in D$ ($D$ - пространство бесконечно дифференцируемых на компакте обобщённых функций, тождественно равных нулю вне этого компакта), что $xu^{(k)} = \delta(x)$, $k = 1 \ldots n$ ($\delta(x)$ - дельта-функция).

[Brukvalub]

passenger писал(а):

Найти такие функции u \in D (D - пространство бесконечно дифференцируемых обобщённых функций, тождественно равных нулю вне этого компакта), что xu^{(k)} = \delta(x), k = 1 \ldots n (\delta(x) - дельта-функция).

Как это может быть? В левой части требуемых равенств стоит бесконечно дифференцируемая функция, а в правой - дельта-функция! На ум приходят только слова одного знакомого сисадмина: "Счастливы юзеры, и блаженны, ибо не ведают, что творят".

[Henrylee]

passenger писал(а):

xu^{(k)} = \delta(x), k = 1 \ldots n (\delta(x) - дельта-функция).

Может все-таки вот так вот?

$$ u^{(k)}\to\delta(x),\quad k\to\infty $$

[passenger]

Разумеется, производная понимается в обобщённом смысле.

Например, $u(x) = -\delta(x) + C\theta(x) + C_1$ - решение уравнения $xu'(x) = \delta(x)$ ($\theta(x)$ - функция Хевисайда: $\theta(x) = 1$, если $x > 0$ и $\theta(x) = 0$ в противном случае; при этом $\theta'(x) = \delta(x)$.

[Brukvalub]

Стало мне интересно, а вот дельта-функция в точке 1 чему равна? И бывают ли обобщенные функции, которые не являются бесконечно дифференцируемыми? А то, иначе, у меня все равно "сносит крышу" от фразы

passenger писал(а):

Найти такие функции u \in D (D - пространство бесконечно дифференцируемых на компакте обобщённых функций, тождественно равных нулю вне этого компакта), что xu^{(k)} = \delta(x), k = 1 \ldots n (\delta(x) - дельта-функция).

[passenger]

Тысячекратно извиняюсь, запутался в терминологии. Рассматривается функция из пространства обобщённых функций D'(\mathbb{R}) - сопряжённого к пространству D(\mathbb{R}) финитных C^{\infty}-функций на \mathbb{R}.

[RIP]

Сначала надо найти общее решение уравнения

$$xf=\delta(x),\qquad f\in D'(\mathbb R),$$

а затем проинтегрировать его $k$ раз. Чтобы найти $f$, заметим, что из уравнения получаем $\mathop{\mathrm {supp}} f\subset\{0\}$, поэтому $f=\sum_{n=0}^Nc_n\delta^{(n)}(x)$, $c_n\in\mathbb R$, $N\in\mathbb N$. Осталось подставить это в уравнение.