Дифференциальное уравнение

[tech]

Здравствуйте.
Есть вот такое дифф. уравнение:
$xdy=(y+\sqrt{x^2+y^2})dx$
$1. \ x\equiv0$ - решение.
$2.$ Делаю замену $\ y=z(x)x$ и получаю
$z'x=|x|\sqrt{1+z^2}$
Рассматриваю случаи $x>0,\ x<0$.
Первый даёт $x^2=C(y+\sqrt{x^2+y^2})\ (1)$. Второй даёт $y+\sqrt{x^2+y^2}=C \ (2)$.

Заглядываю в ответы: там только $x=0$ и $x^2=C(y+\sqrt{x^2+y^2})$. Подставил $(2)$ – действительно не является решением.
Собственно, вопрос вот в чём: можно ли было как-то сразу понять, что $(2)$ не будет решением, или, вообще, по-хорошему все решения просто нужно проверять подстановкой в исходное уравнение?

[Mihr]

tech в сообщении #910442 писал(а):

Делаю замену $\ y=z(x)x$ и получаю
$z'x=|x|\sqrt{1+z^2}$

По-моему, Вы ошиблись. Должно получиться просто
$z'x=\sqrt{1+z^2}$,
а у Вас лишний множитель $|x|$. Проверьте.
По поводу Вашего вопроса: проверка делается лишь для самоконтроля. Если Вы уверены, что решение верно, можно обойтись без проверки.

[tech]

Mihr
Да, точно, опечатался. Там должно быть $x(z'x+z)=(zx+|x|\sqrt{1+z^2})$.
И следовательно $z'x=\pm\sqrt{1+z^2}$.
А почему Вы сразу записали $z'x=\sqrt{1+z^2}$ (отбросили минус)?

Случай $+$ даёт $x^2=C(y+\sqrt{x^2+y^2})\ (1)$. Случай $-$ даёт $y+\sqrt{x^2+y^2}=C \ (2)$

[Mihr]

tech в сообщении #910473 писал(а):

А почему Вы сразу записали $z'x=\sqrt{1+z^2}$ (отбросили минус)?

По невнимательности . Просто мне бросился в глаза лишний множитель, и я написал об этом, не вникая в решение до конца.
Но теперь посмотрел внимательней. Вы где-то ошиблись в знаке:

tech в сообщении #910473 писал(а):

Случай $-$ даёт $y+\sqrt{x^2+y^2}=C \ (2)$

На самом деле, случай $-$ даёт $y-\sqrt{x^2+y^2}=C \ $
И это правильное решение (подставьте в исходное ДУ и убедитесь).
А почему его нет в ответе - это уже вопрос к авторам задачника. Или, может быть, требовалось найти решение лишь в области $x>0$? В любом случае, на этот вопрос я Вам не отвечу.