Уравнение шестой степени

[fronnya]

$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$. Препод сказал найти корни этого уравнения. Известно лишь то, что одним из корней является $i$. Ну в одной из теорем сказано, что если есть комплексный корень, то комплексно- сопряженный этому корню также будет корнем. Так что ещё один корень $-i$. А как найти ещё 4 корня?

[main.c]

fronnya в сообщении #910280 писал(а):

$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$. Препод сказал найти корни этого уравнения. Известно лишь то, что одним из корней является $i$. Ну в одной из теорем сказано, что если есть комплексный корень, то комплексно- сопряженный этому корню также будет корнем. Так что ещё один корень $-i$. А как найти ещё 4 корня?

Теорема Безу Вам знакома? Она верна не только для действительных, но и для комплексных чисел - это на случай если Вам давали её только с вещественными числами.

[SpBTimes]

А геометрическая прогрессия, не?

[Ms-dos4]

А с чего вы взяли, что $\[i\]$ - корень этого уравнения? Это не так. Воспользуйтесь тем, что $\[{x^6} + {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \frac{{{x^7} - 1}}{{x - 1}}\]$
P.S.Опоздал

[мат-ламер]

fronnya
Член $x^7$ пропустили?

[fronnya]

мат-ламер в сообщении #910296 писал(а):

fronnya
Член $x^7$ пропустили?

Скорее всего. Вбил в интернет потому что и мне показало другую степень.

[Otta]

fronnya в сообщении #910302 писал(а):

Скорее всего. Вбил в интернет потому что и мне показало другую степень.

Э?

[fronnya]

main.c в сообщении #910281 писал(а):

fronnya в сообщении #910280 писал(а):

$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$. Препод сказал найти корни этого уравнения. Известно лишь то, что одним из корней является $i$. Ну в одной из теорем сказано, что если есть комплексный корень, то комплексно- сопряженный этому корню также будет корнем. Так что ещё один корень $-i$. А как найти ещё 4 корня?

Теорема Безу Вам знакома? Она верна не только для действительных, но и для комплексных чисел - это на случай если Вам давали её только с вещественными числами.

То есть мне поделить многочлен на $x-i$ ?

-- 21.09.2014, 19:05 --

Цитата:

Э?

оговорка: другие корни.

[Ms-dos4]

fronnya
Проще опять же применить прогрессию $\[{x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \frac{{{x^8} - 1}}{{x - 1}}\]$ и свести всё к $\[{x^8} = 1\]$ (только единицу как корень выкинуть не забудьте)

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #910306 писал(а):

fronnya
Проще опять же применить прогрессию $\[{x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \frac{{{x^8} - 1}}{{x - 1}}\]$ и свести всё к $\[{x^8} = 1\]$ (только единицу как корень выкинуть не забудьте)

А как решить, используя теорему Безу ? Делить на $x-i$ или не?

[Ms-dos4]

Да.

[мат-ламер]

fronnya в сообщении #910307 писал(а):

А как решить, используя теорему Безу ? Делить на $x-i$ или не?

Корни образуют восьмиугольник, вписанный в единичный круг на комплексной плоскости.

[main.c]

fronnya в сообщении #910307 писал(а):

Ms-dos4 в сообщении #910306 писал(а):

fronnya
Проще опять же применить прогрессию $\[{x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \frac{{{x^8} - 1}}{{x - 1}}\]$ и свести всё к $\[{x^8} = 1\]$ (только единицу как корень выкинуть не забудьте)

А как решить, используя теорему Безу ? Делить на $x-i$ или не?

Только проще делить на $x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$, потому что, как Вы сами заметили, сопряжённый корень - тоже является корнем.

[fronnya]

main.c, спасибо! Я забыл про это)

[Sinoid]

Это уравнение возвратно.