2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 19:22 
Аватара пользователя
$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$. Препод сказал найти корни этого уравнения. Известно лишь то, что одним из корней является $i$. Ну в одной из теорем сказано, что если есть комплексный корень, то комплексно- сопряженный этому корню также будет корнем. Так что ещё один корень $-i$. А как найти ещё 4 корня?

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 19:25 
fronnya в сообщении #910280 писал(а):
$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$. Препод сказал найти корни этого уравнения. Известно лишь то, что одним из корней является $i$. Ну в одной из теорем сказано, что если есть комплексный корень, то комплексно- сопряженный этому корню также будет корнем. Так что ещё один корень $-i$. А как найти ещё 4 корня?

Теорема Безу Вам знакома? Она верна не только для действительных, но и для комплексных чисел - это на случай если Вам давали её только с вещественными числами.

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 19:39 
Аватара пользователя
А геометрическая прогрессия, не?

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 19:39 
А с чего вы взяли, что $\[i\]$ - корень этого уравнения? Это не так. Воспользуйтесь тем, что $\[{x^6} + {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \frac{{{x^7} - 1}}{{x - 1}}\]$
P.S.Опоздал :-)

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 19:56 
Аватара пользователя
fronnya
Член $x^7$ пропустили?

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 19:59 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #910296 писал(а):
fronnya
Член $x^7$ пропустили?

Скорее всего. Вбил в интернет потому что и мне показало другую степень.

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 20:03 
fronnya в сообщении #910302 писал(а):
Скорее всего. Вбил в интернет потому что и мне показало другую степень.

Э? :o

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 20:04 
Аватара пользователя
main.c в сообщении #910281 писал(а):
fronnya в сообщении #910280 писал(а):
$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$. Препод сказал найти корни этого уравнения. Известно лишь то, что одним из корней является $i$. Ну в одной из теорем сказано, что если есть комплексный корень, то комплексно- сопряженный этому корню также будет корнем. Так что ещё один корень $-i$. А как найти ещё 4 корня?

Теорема Безу Вам знакома? Она верна не только для действительных, но и для комплексных чисел - это на случай если Вам давали её только с вещественными числами.

То есть мне поделить многочлен на $x-i$ ?

-- 21.09.2014, 19:05 --

Цитата:
Э? :o
оговорка: другие корни.

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 20:05 
fronnya
Проще опять же применить прогрессию $\[{x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \frac{{{x^8} - 1}}{{x - 1}}\]$ и свести всё к $\[{x^8} = 1\]$ (только единицу как корень выкинуть не забудьте)

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 20:07 
Аватара пользователя
Ms-dos4 в сообщении #910306 писал(а):
fronnya
Проще опять же применить прогрессию $\[{x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \frac{{{x^8} - 1}}{{x - 1}}\]$ и свести всё к $\[{x^8} = 1\]$ (только единицу как корень выкинуть не забудьте)

А как решить, используя теорему Безу ? Делить на $x-i$ или не?

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 20:09 
Да.

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 20:11 
Аватара пользователя
fronnya в сообщении #910307 писал(а):
А как решить, используя теорему Безу ? Делить на $x-i$ или не?

Корни образуют восьмиугольник, вписанный в единичный круг на комплексной плоскости.

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 20:42 
fronnya в сообщении #910307 писал(а):
Ms-dos4 в сообщении #910306 писал(а):
fronnya
Проще опять же применить прогрессию $\[{x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \frac{{{x^8} - 1}}{{x - 1}}\]$ и свести всё к $\[{x^8} = 1\]$ (только единицу как корень выкинуть не забудьте)

А как решить, используя теорему Безу ? Делить на $x-i$ или не?

Только проще делить на $x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$, потому что, как Вы сами заметили, сопряжённый корень - тоже является корнем.

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение21.09.2014, 20:44 
Аватара пользователя
main.c, спасибо! Я забыл про это)

 
 
 
 Re: Уравнение шестой степени
Сообщение22.09.2014, 20:58 
Это уравнение возвратно.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group