Оценка модуля интеграла векторной функции

[main.c]

Доказывается, что

$$\left|\int\limits_a^b\overrightarrow{r(t)}dt\right| \leq \int\limits_a^b|\overrightarrow{r(t)}|dt$$

Перейду к доказательству.
Пусть $x_1(t), ..., x_n(t)$ - координатные функции вектор-функции $\overrightarrow{r(t)}$. По условию векторная функция $\overrightarrow{r(t)}$ непрерывна, а значит непрерывны все координатные функции и $|\overrightarrow{r(t)}|$. Поэтому определены и конечны все интегралы леммы, а значит, соответствующие интегральные суммы не зависят от выбора разбиений и для доказательства неравенства леммы мы можем учитывать только равномерные разбиения отрезка. Дальше используется неравенство Коши-Буняковского и всё очевидно, но вот выделенный мною текст мне непонятен. Кто-нибудь может объяснить почему это так? Как интегральные суммы могут не зависеть от выбора разбиений?

[Munin]

Видимо, предел интегральной суммы не зависит, слово пропущено.

[SpBTimes]

Ну суммы-то зависят. Но предел не зависит. Так что можно что-то доказывать для удобных разбиений, а в пределе будет одно и то же

[main.c]

Да, спасибо.

(Оффтоп)

Самое интересное, что можно долго думать, что же не так, и не понимать, а когда сформулируешь вопрос и напишешь его сюда - порой и без помощи всё становится понятно. Чудеса какие-то

[мат-ламер]

Я себе представлял, что между интегральными суммами левой и правой части есть взаимнооднозначное соответствие. Причём при этом соотвествии каждая левая сумма не меньше соответствующей правой.
Полезно также понимать физический смысл этого неравенства.

[Munin]

Хорошо заданный вопрос - половина ответа :-)

-- 21.09.2014 20:01:24 --

мат-ламер в сообщении #910262 писал(а):

Полезно также понимать физический смысл этого неравенства.

Это проще всего сделать, если вместо $\vec{r}(t)$ написать $\vec{v}(t).$