конденсатор

[dovlato]

Плоский конденсатор образован парой близко расположенных тонких обкладок с пренебрежимо малой массой.
Его диэлектрик с электрической проницаемостью $\varepsilon$ и удельной проводимостью $\gamma$ имеет плотность $\rho$.
Конденсатор находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, силовые линии которого перпендикулярны обкладкам.
Конденсатору толчком придаётся скорость $\vec v_0$, параллельной обкладкам, после чего он летит по инерции поступательно.
Механического трения нет. Силы тяжести отсутствуют.
Найти расстояние, пройденное конденсатором.
Другой вариант задачи - обкладки расположеныв поле тяжести с ускорением $g$ найти установившуюся скорость его падения.

[Oleger99]

Вопрос дуракам...Отвечаю: Плоский конденсатор сделан правильно. Его масса - лажа. Удельная
проводимость конденсатора (идеального - 0) плотность - аналогично. МП на конденсатор не действует. Ответ: ничего не изменится, для варианта аспиратов, никак, для шибко умных - толчок. Понятие - толчок - может быть понято туалетно? Емкость конденсатора на зависит от его движения. С этого и к этому сводится задача.

[Toucan]

Oleger99, предупреждение за агрессивное невежество и стиль обсуждения, недопустимый на научном форуме. Учитывая уже имеющиеся в Вашем послужном списке замечания, предупреждение и недельный бан - две недели отдыха.

[Munin]

dovlato в сообщении #907707 писал(а):

Найти расстояние, пройденное конденсатором.

А что ему будет мешать неограниченно двигаться равномерно и прямолинейно?

[dovlato]

Интересно, Munin, что означает одна звёздочка))..
Должен извиниться за собственную ошибку. Магнитные силовые линии ПАРАЛЛЕЛЬНЫ обкладкам,
а вектор скорости действительно параллелен обкладкам, и перпендикулярен этим линиям.
Диэлектрик обладает слабой проводимостью. Вследствие чего под действием индукционной ЭДС
сквозь него потечёт ток. Взаимодействие этого тока с внешним магнитным полем станет тормозить тело.
Я честно написал стандартное ДУ.. Решается оно безо всяких неожиданностей.
Мне самому задача понравилась тем, что требует минимум данных.

[Munin]

dovlato в сообщении #909358 писал(а):

Интересно, Munin, что означает одна звёздочка))..

Вы про которую? Вот про эту? Это пять звёздочек, сжатых в одну, для краткости.

dovlato в сообщении #909358 писал(а):

Должен извиниться за собственную ошибку. Магнитные силовые линии ПАРАЛЛЕЛЬНЫ обкладкам, а вектор скорости действительно параллелен обкладкам, и перпендикулярен этим линиям.

Вот, теперь есть над чем подумать.

dovlato в сообщении #909358 писал(а):

Я честно написал стандартное ДУ.. Решается оно безо всяких неожиданностей.

Ну-у-у, тогда что же в задаче "олимпиадного"? :-)

[dovlato]

Ну, коли я в ней уже дважды ошибся - она не совсем тривиальна.
Вторая моя ошибка в том, что в первом варианте определяется не расстояние, а установившаяся скорость,
а во втором - его ускорение. А нравится она мне потому, что имеет ответ без задания конкретной формы
плоского конденсатора, его толщины, размеров вдоль и поперёк, массы, ёмкости.

[Munin]

То есть, и конденсатор не нужен, а достаточно только куска диэлектрика произвольной формы, я так понимаю?

[dovlato]

Любой - но плоский..просто чтобы это вообще было решаемо без урматов.
Я и сам хотел отказаться от обкладок.. Но, поскольку сквозь диэлектрик должен идти ток, как-то должен накапливаться заряд на
противоположных сторонах этого плоского куска. Не уверен, что диэлектрик, пусть даже и слегка электропроводный, может это накопление обеспечить.
Не знаю также, можно ли для аналогичной задачи вообще отказаться от диэлектрика и вместо него взять просто плоский кусок металла(!).

[Munin]

dovlato в сообщении #909781 писал(а):

Любой - но плоский..

А дальше что? Берём произвольный, режем его мысленно на плоские. Не проходит?

dovlato в сообщении #909781 писал(а):

Я и сам хотел отказаться от обкладок.. Но, поскольку сквозь диэлектрик должен идти ток, как-то должен накапливаться заряд на противоположных сторонах этого плоского куска.

Поскольку у диэлектрика есть проводимость, то в нём есть и свободные заряды, и он сам может на своих боках их накапливать. И в любом месте объёма тоже. То есть, от добавления плёнки металла на боках ничего не меняется.

dovlato в сообщении #909781 писал(а):

Не знаю также, можно ли для аналогичной задачи вообще отказаться от диэлектрика и вместо него взять просто плоский кусок металла(!).

Ну, считается, что у металла соотношение проводимости к диэлектрической проницаемости намного больше, на много порядков, так что его диэлектрическими свойствами можно вообще пренебречь. Но моделью неидеального металла является как раз описанный вами диэлектрик с конечными $\gamma$ и $\varepsilon.$

[dovlato]

Munin в сообщении #909821 писал(а):

dovlato в сообщении #909781 писал(а):

Любой - но плоский..

А дальше что? Берём произвольный, режем его мысленно на плоские. Не проходит?

dovlato в сообщении #909781 писал(а):

Я и сам хотел отказаться от обкладок.. Но, поскольку сквозь диэлектрик должен идти ток, как-то должен накапливаться заряд на противоположных сторонах этого плоского куска.

[Поскольку у диэлектрика есть проводимость, то в нём есть и свободные заряды, и он сам может на своих боках их накапливать. И в любом месте объёма тоже. То есть, от добавления плёнки металла на боках ничего не меняется.]

1. Произвольную достаточно плоскую лепёшку лепёшку взять, видимо, можно. Её можно аппроксимировать "ступенчатой" системой параллельных граней.
А если она неправильной формы.. ну, не знаю, как тогда это решать.
2. Коли проводящие плёнки оказываются ненужными, то задача становится только изящнее.
Может, у кого-нибудь возникнет желание написать тут подходящие уравнения и их решения.
Потом приведу свои. Кстати, пора наконец самому честно сесть и аккуратно написать всё что положено - а то вон уже дважды ошибался.

[dovlato]

Приведу свои решения для двух вариантов, оба для случая невесомости. Исходное предположение - однородные поля и токи во всём диэлектрике,
за исключением краевых эффектов. Мысленно вырезаем в конденсаторе цилиндрический столбик, с образующими, перпендикулярными плоскости обкладок.
Плотность заряда на гранях $\sigma$, напряжённость электрического поля в диэлектрике $E$. Имеем:

$$E=Bv-\frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon}$$

Плотность тока в диэлектрике

$$j=d\sigma/dt=\gamma(Bv-\frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon})$$

Согласно 2-му закону Ньютона, $\rho dv/dt+Bj=0$, то есть $\rho dv/dt+Bd\sigma/dt=0$, откуда

$$\rho v+B\sigma=A$$

где $A$ - константа, зависящая от начальных условий.
Ограничимся определением установившейся скорости. При этом ток $j$ прекращается, и, следовательно, выполняется равенство

$$Bv-\frac{\sigma}{\varepsilon_0\varepsilon}=0$$

Общее решение последних двух уравнений для установившейся скорости

$$v=\frac{A}{\rho+\varepsilon_0\varepsilon}$$

1й вариант: щелчок по неподвижному незаряженному конденсатору. При этом $A=\rho v_0$, и тогда

$$v_1=\frac{v_0}{1+\frac{\varepsilon_0\varepsilon B^2}{\rho}}$$

2й вариант: неподвижный конденсатор заряжен, и начальное электрическое поле в нём $E_0$. $A=B\sigma_0=\sigma_0\sigma E_0B$. Конденсатор разгонится до скорости

$$v_2=\frac{E_0}{B+\frac{\rho}{\varepsilon_0\varepsilon B}}$$

То есть установившаяся скорость в невесомости не зависит от проводимости диэлектрика.

[dovlato]

Оба результата можно переписать так:

$$v_1=\frac{v_0}{1+k}\qquad v_2=\frac{V}{1+1/k}$$

где обозначено

$$ k=2\varepsilon\frac{w_B}{w_\rho}\qquad w_B=\frac{B^2}{2\mu_0}\qquad w_\rho=\rho c^2$$

Скорость $V=E_0/B \quad$ - предельная скорость $v_2$ при нулевой массе конденсатора.

[blacky]

Интересная задача и красивое решение