Бесконечно дифференцируемые функции

[Ktina]

Функции $fg, gh, fh$ бесконечно дифференцируемы. Следует ли отсюда непрерывность хотя бы одной из функций $f, g, h$ хотя бы в одной точке?

Прежде всего, что означает $fg, gh, fh$?
Это композиции?
Если да, то мне кажется, что решение просто. Пусть каждая из функций $f, g, h$ равна 1 при рациональном аргументе и 0 в противном случае (это - функция Дирихле, вроде как...). Тогда композиция любых двух таких функций будет константой, а именно тождественной единицей.

Разве не так? Или здесь не композиции имелись в виду, а нечто иное?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[Aritaborian]

Ну вы даёте. Функция Дирихле вообще ни разу не дифференцируема.

[Ktina]

Aritaborian в сообщении #909724 писал(а):

Ну вы даёте. Функция Дирихле вообще ни разу не дифференцируема.

А каким образом это противоречит условию?

[Aritaborian]

Стоп. Я, кажется, неправильно прочёл задачу

[Ktina]

Источник задачи:

Задачи олимпиады Санкт-Петербурга
среди студентов технических вузов 2004 года
http://mathdep.ifmo.ru/files/olymp-spb/2005-2006.pdf
(стр. №16, зад. №4)

[g______d]

Ktina в сообщении #909719 писал(а):

Разве не так? Или здесь не композиции имелись в виду, а нечто иное?

Я думаю, все-таки произведение имелось в виду.

[Evgenjy]

И при композиции и при произведении задача простая, и ответ один. Во втором случае немного посложнее. Так что, думаю имеется в виду произведение.

[Ktina]

Evgenjy в сообщении #909773 писал(а):

И при композиции и при произведении задача простая, и ответ один. Во втором случае немного посложнее. Так что, думаю имеется в виду произведение.

А что там посложнее?
Разобьём все вещественные числа на три подмножества: 1. Рациональные. 2. Иррациональные, но не трансцендентные. 3. Трансцендентные.
Первая функция даёт 1 в первом множестве и 0 в остальных, вторая даёт 1 во втором и 0 в остальных, а третья - 1 в третьем и 0 в остальных.

Что не так?

[bot]

Да ещё проще - пусть все три функции одинаковы, пусть в рациональных точках значения равны 1, а в иррациональных пусть -1. Годится и для произведения и для суперпозиции.

[Ktina]

bot
Спасибо! У Вас лучше.