Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #760329 писал(а):

Если кому наскучило искать оптимальное решение для N=7, переходите, пожалуйста, к поиску оптимального решения для N=8
Это чётный порядок, может быть, тут всё проще окажется.

Начну с наименьшего обычного магического квадрата 8-го порядка из различных простых чисел:

3 19 59 61 233 239 257 283
193 271 157 139 199 41 53 101
241 311 263 167 11 43 29 89
5 17 37 79 173 269 281 293
331 109 227 137 127 73 67 83
7 23 31 197 149 251 317 179
163 223 229 277 71 131 47 13
211 181 151 97 191 107 103 113
S=1154

Построение этого квадрата описано в статье.
Ранжированный массив простых чисел, из которых составлен этот квадрат:

3  5  7  11  13  17  19  23  29  31  37  41  43  47  53  59  61  67  71  73  79  83  89  97  101  103  107  109  113  127  131  137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193  197  199  211  223  227  229  233  239  241  251  257  263  269  271  277  281  283  293  311  317  331

Цитата:

Другой массив простых чисел для квадрата 8-го порядка у меня тоже с ходу не сформировался. Возможно, есть варианты, но сразу их не видно.

(из указанной статьи)
Как утверждает программа whitefox, массив для данной магической константы всего один. Значит, недаром у меня второй массив не сформировался. Будем считать, что два человека независимо друг от друга установили, что такой массив один. Это уже хорошо, проверять надо всего один массив.

Вот как всё просто
Всего один потенциальный массив имеем для построения наименьшего пандиагонального квадрата 8-го порядка из различных (не последовательных) простых чисел.
При построении наименьшего пандиагонального квадрата 7-го порядка из простых чисел с магической константой $S=733$ мы имели два потенциальных массива. Jarek написал программы для обоих массивов и запустил их одновременно.
Для порядка $n=8$ проверять надо всего один массив, вы видите его в цитате.

Ещё обратите внимание: составить обычный магический квадрат из чисел данного массива не составляет никакого труда. Почти случайная генерация с небольшой программной доработкой. У коллеги Stefano Tognon (ice00) есть статья об этом методе.
И программы у него тоже есть, которые могут построить хоть тысячу обычных МК 8-го порядка из чисел заданного массива (состоящего из 64 чисел), если только такие квадраты существуют.
А вот для построения пандиагонального квадрата нет такой хорошей программы.
Ну, представьте, что мы построили все МК 8-го порядка из чисел данного массива с магической константой $S=1154$. Об этом можно только пофантазировать, ибо квадратов таких будет очень много. Но... вот пусть мы их все построили; тогда среди них обязаны быть и пандиагональные, если они существуют.

Соотношение обычных МК и пандиагональных -
на примере классических квадратов 5-го порядка: всего классических МК 5-го порядка 25 миллионов, а пандиагональных среди них только 3600.

-- Ср сен 17, 2014 08:06:35 --

Программа ice00 жива у меня и работает
Вот три магических квадрата 8-го порядка из чисел приведённого выше массива с магической константой $S=1154$

(Оффтоп)

ORDER=8  MAGIC=1154

173 277 197 61  167 271 3   5   
269 53  179 11  17  31  283 311 
73  137 251 43  227 163 19  241 
191 211 107 157 13  151 193 131 
109 37  47  293 263 59  317 29  
139 7   67  229 331 41  101 239 
103 233 83  281 113 181 89  71  
97  199 223 79  23  257 149 127 

ORDER=8  MAGIC=1154

101 173 67  269 23  227 11  283 
167 317 127 89  191 47  109 107 
197 3   179 199 7   239 149 181 
79  293 139 241 41  251 73  37  
233 103 277 151 29  19  229 113 
263 5   137 13  281 71  331 53  
83  163 211 61  311 43  59  223 
31  97  17  131 271 257 193 157 

ORDER=8  MAGIC=1154

53  199 311 17  139 271 37  127 
331 11  181 277 223 13  89  29  
101 107 137 149 79  281 67  233 
157 173 229 7   59  73  263 193 
43  71  269 113 227 179 61  191 
31  97  5   293 283 151 211 83  
197 239 19  131 41  163 317 47  
241 257 3   167 103 23  109 251

Один МК строится долю секунды.
Эх, вот как бы сделать такую же программу для пандиагональных квадратов 8-го порядка из простых чисел?

[dmd]

У меня вопрос. Как Jarek получал модулярный шаблон для N7? Из обычных МК?

[Nataly-Mak]

dmd в сообщении #908704 писал(а):

У меня вопрос. Как Jarek получал модулярный шаблон для N7? Из обычных МК?

Нет, из обычных не пойдёт. Надо получать шаблон из пандиагонального квадрата, чтобы он годился для построения пандиагонального же квадрата.
Я получаю шаблоны из приближений к решению (из решений с "дырками") или из известных аналогичных решений (например, приведённый выше шаблон из вычетов по модулю 8 для пандиагональных квадратов 8-го порядка).
Кстати, замечу: для построения пандиагонального квадрата 8-го порядка с магической константой $S=1154$ приведённый мной шаблон не годится, так как он годен только для построения квадратов с магической константой кратной 8 (равной нулю по модулю 8).
Вот при выборе аналогичного решения для получения шаблона по какому-либо модулю обязательно надо смотреть на магическую константу квадрата - что она даёт по этому модулю.

[Nataly-Mak]

Удивительно!
Просмотрела сейчас все известные пандиагональные квадраты 8-го порядка из простых чисел (и не только; ещё классический, например, из произвольных натуральных чисел и из чисел Смита). Магические константы всех этих квадратов кратны 4
Это наводит на определённую мысль, подтверждение которой надо искать в статье Россера.

И если верно, что магическая константа любого пандиагонального квадрата 8-го порядка кратна 4 (пока это гипотеза, основанная на экспериментальных данных), то магическая константа 1154 сразу исключается.

-- Ср сен 17, 2014 12:16:40 --

Давно вызревает у меня ещё один алгоритм построения пандиагональных квадратов 8-го порядка. Теоретически созрел, практически ещё не опробовала.

Буду пробовать на этом массиве:

S=2016 
79  83  89  97  101  103  107  109  113  127  131  137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193  197  199  211  223  227  229  233  239  241  251  257  263  269  271  277  281  283  293  307  311  313  317  331  337  347  349  353  359  367  373  379  383  389  397  401  409  419  421  431  433  439

Это первый потенциальный массив для пандиагональных квадратов 8-го порядка из последовательных простых чисел.

Ввела массив в программу ice00, за 11 секунд (!) готовы 10 магических квадратов:

(Оффтоп)

ORDER=8  MAGIC=2016

389 83  379 223 109 239 367 227 
139 353 233 149 409 151 199 383 
349 311 173 283 271 241 107 281 
347 157 229 197 269 103 317 397 
137 193 181 373 401 307 257 167 
431 79  191 439 263 211 313 89  
127 419 337 101 163 331 179 359 
97  421 293 251 131 433 277 113 

379 79  83  239 349 353 257 277 
151 431 181 293 101 439 157 263 
229 281 397 313 103 269 311 113 
401 241 389 107 173 307 127 271 
283 197 163 409 359 179 233 193 
131 337 317 199 167 109 373 383 
251 223 139 367 331 149 137 419 
191 227 347 89  433 211 421 97  

263 149 83  389 251 151 347 383 
359 193 349 167 239 233 277 199 
311 401 211 97  139 257 283 317 
79  353 373 281 131 367 101 331 
271 197 191 241 379 181 419 137 
157 337 107 313 227 269 173 433 
179 223 409 439 229 127 307 103 
397 163 293 89  421 431 109 113 

251 349 433 181 137 179 373 113 
197 421 211 367 89  269 191 271 
173 227 103 307 283 401 139 383 
347 131 419 127 311 151 331 199 
313 97  239 149 281 359 241 337 
389 167 157 109 229 293 439 233 
83  431 353 379 277 107 223 163 
263 193 101 397 409 257 79  317 

197 271 277 313 401 113 163 281 
109 373 157 421 233 149 227 347 
311 419 383 283 101 257 83  179 
349 139 269 211 367 151 337 193 
379 127 389 353 173 199 229 167 
223 191 263 239 103 307 251 439 
317 137 181 107 241 409 293 331 
131 359 97  89  397 431 433 79  

127 419 211 359 383 313 107 97  
433 353 193 163 137 223 167 347 
109 283 181 277 229 271 409 257 
83  311 139 397 439 149 307 191 
349 151 367 239 179 263 199 269 
389 79  421 113 157 379 281 197 
233 89  401 131 241 317 173 431 
293 331 103 337 251 101 373 227 

211 379 83  397 149 353 163 281 
337 311 167 181 313 137 439 131 
257 349 157 409 317 223 191 113 
193 239 293 109 229 271 263 419 
251 179 383 307 431 283 103 79  
433 97  347 139 173 197 389 241 
233 89  359 367 127 151 269 421 
101 373 227 107 277 401 199 331 

337 311 227 257 409 241 131 103 
79  293 139 163 373 269 317 383 
223 263 347 109 113 379 349 233 
389 439 281 97  229 107 191 283 
211 181 251 359 101 419 127 367 
307 193 179 401 89  277 421 149 
157 137 353 197 271 173 397 331 
313 199 239 433 431 151 83  167 

179 367 181 83  277 173 383 373 
227 313 439 233 199 401 103 101 
163 353 263 79  431 157 137 433 
251 89  307 379 347 139 397 107 
127 229 191 359 241 419 283 167 
389 211 131 269 97  239 271 409 
331 197 223 193 311 151 293 317 
349 257 281 421 113 337 149 109 

331 163 131 83  167 431 337 373 
401 419 367 199 227 157 137 109 
139 313 191 389 433 113 257 181 
107 347 101 97  283 353 379 349 
151 173 397 293 271 233 89  409 
383 229 307 239 359 197 79  223 
263 269 311 277 149 251 317 179 
241 103 211 439 127 281 421 193

Можно в программе задавать количество квадратов. Задать 1000 штук, нашлёпает шутя
Только вот пандиагонального квадрата среди них может не оказаться ни одного.
А существует ли вообще пандиагональный-то с такой магической константой
А почему бы ему не существовать?
Итак, пойду пробовать новый алгоритм, если что-то получится, расскажу.

[Nataly-Mak]

Someone в сообщении #906522 писал(а):

x8=s-x1-x2-x3-x4-x5-x6-x7
x16=s-x10-x11-x12-x13-x14-x15-x9
x24=s-x17-x18-x19-x20-x21-x22-x23
x32=s-x25-x26-x27-x28-x29-x30-x31
x40=s-x33-x34-x35-x36-x37-x38-x39
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Посмотрите на начало обшей формулы пандиагонального квадрата 8-го порядка.
Вы увидите пять строк квадрата в чистом виде (схема квадрата была показана выше).

Немного отвлекусь, чтобы дать определение цепочки или магического ряда.

Определение
Для магического квадрата порядка $n$ цепочкой или магическим рядом называется набор из $n$ чисел, дающих в сумме магическую константу квадрата.

Так вот, первые пять цепочек можно просто генерировать случайным образом, согласно общей формуле. Можно часть из них генерировать случайным образом, а другую часть строить перебором. Наконец можно найти все эти цепочки и составить все возможные комбинации из 5 цепочек. Понимаю, что практически это сложно сделть, но теоретически возможно.
Итак, я 4 строки (цепочки) генерирую случайным образом:

79  347  227  83  229  421  197  433 
101  331  233  127  409  373  149  293 
269  439  389  167  181  151  313  107 
131  349  211  277  383  251  317  97 
x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39 x40
x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48
x49 x50 x51 x52 x53 x54 x55 x56
x57 x58 x59 x60 x61 x62 x63 x64

Это выполняется пару секунд.
Пятую строку решила строить перебором, а то перебирать совсем нечего будет
Это тоже выполняется пару секунд:

79  347  227  83  229  421  197  433 
101  331  233  127  409  373  149  293 
269  439  389  167  181  151  313  107 
131  349  211  277  383  251  317  97 
89  199  191  103  239  367  397  431 
x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48
x49 x50 x51 x52 x53 x54 x55 x56
x57 x58 x59 x60 x61 x62 x63 x64

А теперь... снова посмотрите на общую формулу: свободная переменная осталась одна - x41. Весело!
К 7 перебираемым переменным пятой строки добавляется ещё одна. Итого: 8 свободных переменных из 32. И... всё равно перебор буксует!
Вот что пока удалось получить:

79  347  227  83  229  421  197  433 
101  331  233  127  409  373  149  293 
269  439  389  167  181  151  313  107 
131  349  211  277  383  251  317  97 
89  199  191  103  239  367  397  431 
401  419  139  x44  x45  x46  x47  x48 
x49 x50 x51 x52 x53 x54 x55 x56
x57 x58 x59 x60 x61 x62 x63 x64

Теория такова: фиксируем элемент x1. Находим все цепочки, начинающиеся с этого элемента. Затем находим все цепочки, не содержащие числа, присвоенного элементу x1. Эти цепочки будут комбинироваться с первой цепочкой: первая цепочка плюс ещё 4 цепочки.
Всё! Осталось 24 числа в массиве, и надо перебрать всего один элемент - x41. Все остальные надо просто вычислять по готовым формулам и проверять на принадлежность массиву из 24 чисел. Эта процедура, понятно, выполнится очень быстро.
Теория цепочного построения была успешно использована 12d3 при построении МК 6-го порядка. Понятно, что для порядка 6 цепочек будет значительно меньше.
Для порядка 8 не знаю, насколько это возможно выполнить практически. Если цепочек будет ну очень много, тогда, конечно, трудно. Зато... это была бы полная проверка возможности построения квадрата, чего, конечно, не может быть при случайной генерации цепочек. Тут можно ловить удачу и... никогда её не поймать

-- Ср сен 17, 2014 15:51:39 --

Удалось правильно заполнить всю шестую строку!

79  317  223  233  367  313  173  311 
431  97  137  193  389  229  373  167 
197  383  281  163  89  397  349  157 
257  439  191  277  101  107  433  211 
103  181  379  337  419  127  331  139 
269  239  421  307  179  293  199  109 
x  x   x   x   x   x   x   x
x  x   x   x   x   x   x   x
S=2016

Очень много зависит от сгенерированных случайным образом цепочек.
Буду дальше пытаться заполнить.

[dmd]

Nataly-Mak в сообщении #908725 писал(а):

Удивительно!
Просмотрела сейчас все известные пандиагональные квадраты 8-го порядка из простых чисел (и не только; ещё классический, например, из произвольных натуральных чисел и из чисел Смита). Магические константы всех этих квадратов кратны 4
Это наводит на определённую мысль, подтверждение которой надо искать в статье Россера.

И если верно, что магическая константа любого пандиагонального квадрата 8-го порядка кратна 4 (пока это гипотеза, основанная на экспериментальных данных), то магическая константа 1154 сразу исключается.

$4\mid s$ следует из "формулы" пандиагонального квадрата N8, например из этой строчки

x61=s/2-x1-x13-x25+x35+x36+x38+x39-x4-x41-x5-x6

решения Someone. Видно, что $s/2$ чётно.

[Nataly-Mak]

dmd в сообщении #908893 писал(а):

$4\mid s$ следует из "формулы" пандиагонального квадрата N8, например из этой строчки

x61=s/2-x1-x13-x25+x35+x36+x38+x39-x4-x41-x5-x6

решения Someone. Видно, что $s/2$ чётно.

Что $s$ чётно, вижу, а что $s/2$ чётно - не вижу из приведённой строчки.
Поясните, пожалуйста, как это можно увидеть?
Если мы зададим $s=1154$ и все целые свободные переменные в правой части формулы, то x61 целым никак не получится? Разве?

P.S. Если все xi простые числа, тогда да. Но я высказываю гипотезу для любого пандиагонального квадрата 8-го порядка, а не только из простых чисел. И формула общая, то есть для любого квадрата.

[Someone]

Nataly-Mak в сообщении #908914 писал(а):

Поясните, пожалуйста, как это можно увидеть?

Там, кроме $\frac s2$, ещё $12$ нечётных слагаемых (одно из них находится в левой части). Я правильно понимаю, что Вы строите квадрат из простых чисел? Они все нечётные (кроме двойки, которой в квадрате не может быть).

[Nataly-Mak]

А вы приписку в посте видели?

Для пандиагонального квадрата из простых чисел действительно магическая константа $S=1154$ не годится.
Можете доказать, что магическая константа не кратная 4 не годится для любого пандиагонального квадрата 8-го порядка, составленного из целых чисел?

-- Ср сен 17, 2014 21:37:34 --

Элемент x49 искался несколько часов, вот оно - решение с 49 правильными элементами:

79  173  283  313  421  107  389  251 
167  277  311  419  103  383  199  157 
409  89  373  227  229  233  109  347 
331  349  197  139  211  293  137  359 
97  317  101  239  337  439  223  263 
401  181  127  353  269  281  241  163 
191   x   x   x   x   x   x   x
x   x   x   x   x   x   x   x
S=2016

И приближение с 15 "дырками" готово, причём все элементы в "дырках" уже вычисляются. Конечно, они могут быть (и даже наверняка будут) неправильными, то есть не принадлежащими данному массиву простых чисел. В остальном всё должно быть правильно, так как все зависимые элементы вычисляются по обшей формуле квадрата.

Можно идти за правильным элементом x50

[Nataly-Mak]

Достроила квадрат вручную:

79 173 283 313 421 107 389 251
167 277 311 419 103 383 199 157
409 89 373 227 229 233 109 347
331 349 197 139 211 293 137 359
97 317 101 239 337 439 223 263
401 181 127 353 269 281 241 163
191 415* 473* 333* 191* 213* 127* 73
341* 215* 151 -7* 255* 67 591* 403*
S=2016

Из 15 "дырок" 3 элемента оказались правильными. Неправильные элементы помечены звёздочкой.
И ещё раз проверена формула, полученная Someone: квадрат получился пандиагональным.

[Someone]

Nataly-Mak в сообщении #908937 писал(а):

Для пандиагонального квадрата из простых чисел действительно магическая константа $S=1154$ не годится.
Можете доказать, что магическая константа не кратная 4 не годится для любого пандиагонального квадрата 8-го порядка, составленного из целых чисел?

Почему Вы такое требование предъявляете? Утверждение формулировалось для квадратов из простых чисел.

Nataly-Mak в сообщении #908725 писал(а):

Удивительно!
Просмотрела сейчас все известные пандиагональные квадраты 8-го порядка из простых чисел (и не только; ещё классический, например, из произвольных натуральных чисел и из чисел Смита). Магические константы всех этих квадратов кратны 4

dmd в ответ на ваше удивление и формулирует своё утверждение.

dmd в сообщении #908893 писал(а):

$4\mid s$ следует из "формулы" пандиагонального квадрата N8, например из этой строчки

x61=s/2-x1-x13-x25+x35+x36+x38+x39-x4-x41-x5-x6

решения Someone. Видно, что $s/2$ чётно.

А про квадраты из произвольных целых чисел не знаю.

[Nataly-Mak]

Someone в сообщении #909017 писал(а):

Почему Вы такое требование предъявляете? Утверждение формулировалось для квадратов из простых чисел.

Nataly-Mak в сообщении #908725 писал(а):

Удивительно!
Просмотрела сейчас все известные пандиагональные квадраты 8-го порядка из простых чисел (и не только; ещё классический, например, из произвольных натуральных чисел и из чисел Смита). Магические константы всех этих квадратов кратны 4

Странно! А по-моему в утверждении написано не только о пандиагональных квадратах из простых чисел.
Вы то, что в скобках написано, читаете или пропускаете?
Посмотрела все известные пандиагональные квадраты! И из простых чисел, и не только.
Например:
а) классические пандиагональные квадраты 8-го порядка имеют магическую константу $S=260$, которая кратна 4;
в) построенные в моей статье пандиагональные квадраты 8-го порядка из произвольных натуральных чисел и из чисел Смита тоже имеют магические константы кратные 4.

И далее написано ещё раз это гипотетическое утверждение:

Цитата:

И если верно, что магическая константа любого пандиагонального квадрата 8-го порядка кратна 4 (пока это гипотеза, основанная на экспериментальных данных), то магическая константа 1154 сразу исключается.

И где вы здесь видите о простых числах?

dmd верно обратил внимание на тот факт, что для пандиагонального квадрата 8-го порядка из простых чисел магическая константа 1154 не годится, что я и отметила в своём ответе. Так что, вам пояснять ничего и не надо было. И требований к вам я никаких не предъявляю.

-- Чт сен 18, 2014 01:36:33 --

Возьмём тривиальный пандиагональный квадрат 8-го порядка, составленный из одинаковых чисел. Его магическая константа тоже кратна 4.
Для опровержения гипотезы достаточно привести пандиагональный квадрат 8-го порядка, составленный из целых чисел, магическая константа которого не кратна 4.
Доказать сложнее.
Надо внимательно прочитать статью Россера, возможно, там есть это свойство и его доказательство.

-- Чт сен 18, 2014 01:52:20 --

Латинский квадрат 8-го порядка, который тоже является нетрадиционным пандиагональным магическим квадратом; и его магическая константа равна 28, опять же кратна 4:

0 1 2 3 4 5 6 7
5 4 7 6 1 0 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0
2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1
4 5 6 7 0 1 2 3
1 0 3 2 5 4 7 6

[Nataly-Mak]

Как известно, классических пандиагональных квадратов порядков $n=4k+2$ не существует. А нетрадиционные существуют.
У меня есть статья о построении таких квадратов из произвольных натуральных чисел.
Ну, это по определённому алгоритму.

А коллега Radko Nachev строит такие квадраты вручную! Потрясающе!
Я уже писала о принадлежащем ему наименьшем пандиагональном квадрате 6-го порядка из простых чисел (A179440).
Сегодня он прислал мне пандиагональный квадрат 10-го порядка из произвольных натуральных чисел, который тоже построен вручную.
Наверное, Radko применяет какие-то свои схемы, как, например, это делал знаменитый "построитель" магических квадратов Франклин. Но он мне не рассказывает подробности построения, а вот готовое решение - смотри, наслаждайся
И я наслаждаюсь и восхищаюсь! Ну как такое можно построить вручную?

144 243 154 223 207 194 214 185 204 182
241 146 229 162 160 187 200 189 216 220
148 225 164 227 245 179 169 173 198 222
237 150 233 158 231 171 202 212 181 175
152 239 156 235 166 191 218 177 206 210
196 176 205 186 208 246 147 236 167 183
203 190 201 174 170 149 244 161 228 230
211 221 217 192 168 242 165 226 163 145
219 188 178 209 215 153 240 157 232 159
199 172 213 184 180 238 151 234 155 224
S=1950

Здесь 40 магических рядов!

Попросить надо Radko попробовать составить пандиагональный квадрат 8-го порядка из последовательных простых чисел. А потом и 10-го порядка

[Nataly-Mak]

И у меня отличная новость -
Stefano Tognon (ice00) анонсировал новый конкурс "Pandiagonal Squares of Consecutive Primes"
http://primesmagicgames.altervista.org/wp/competitions/

Дата старта будет объявлена сразу, как только Stefano подготовит программу для приёма решений.
Собственно, можно начинать
Продолжительность конкурса предполагается 3 месяца с официальной даты старта.

Как всегда, приглашаю к участию в конкурсе всех форумчан.
Персональные приглашения в этот раз рассылать не буду - бесполезное занятие, в прошлый раз не помогло нисколько.

Позвольте персонально пригласить здесь следующих форумчан:

maxal, svb, Pavlovsky, alexBlack, 12d3, tolstopuz, whitefox, dmd, EtCetera, Jarek, dimkadimon, Jens K Andersen, Progger, Dmitry40.

[Nataly-Mak]

dmd
вы спрашивали, как получить шаблон для построения пандиагонального квадрата.
Я отвечала, что получаю шаблоны по приближению к решению.

Вот конкретный пример:

3  1  3  1  1  3  1  3 
3  1  3  3  3  3  3  1 
1  1  1  3  1  1  1  3 
3  1  1  3  3  1  1  3 
1  1  1  3  1  3  3  3 
1  1  3  1  1  1  1  3 
3  3  1  1  3  1  3  1 
1  3  3  1  3  3  3  3 

Этот шаблон по модулю 4 получен из первого приближения к пандиагональному квадрату 8-го порядка из последовательных простых чисел с магической константой $S=2016$, показанного выше.
В шаблоне вычетов:
1 – 32 шт
3 – 32 шт

Разбиение массива простых чисел (который берётся для построения этого квадрата) на две группы, соответствующие вычетам 1 и 3:

первая группа - вычет 1

89  97  101  109  113  137  149  157  173  181  193  197  229  233  241  257  269  277  281  293  313  317  337  349  353  373  389  397  401  409  421  433 

вторая группа - вычет 3

79  83  103  107  127  131  139  151  163  167  179  191  199  211  223  227  239  251  263  271  283  307  311  331  347  359  367  379  383  419  431  439

Каждая группа содержит 32 числа.

Берём шаблон, берём общую формулу (одну из двух), пишем программу и... находим решение

-- Пт сен 19, 2014 12:39:53 --

Цитата:

Из 15 "дырок" 3 элемента оказались правильными.

При проверке шаблона по приближению обнаружила неточность: из 15 "дырок" только один элемент оказался правильным: 151. Элементы 67 и 73 не принадлежат данному массиву простых чисел.