Предположение об избыточности аксиомы Паша

[PRaIMER]

В аксиоматической модели геометрии Гильберта аксиома Паша (под номером II.4)) относится к аксиомам порядка, при этом в ней не рассматривается обычное для этой группы отношение «лежать между», зато неоднократно встречаются отношения в общем случае описываемые словом «принадлежать» что характерно для аксиом первой группы. Исключение из модели аксиомы I.5) приводит к противоречию:
Предположим, что некоторые, не принадлежащие одной прямой, точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат двум плоскостям: $\alpha$ и $\beta$. Тогда прямые, определяемые, согласно аксиомам I.1) и I.2), парами точек $AB$, $BC$ и $AC$, согласно аксиоме I.6) также лежат в этих плоскостях (т.к. содержат по две точки, принадлежащие этим плоскостям). Рассмотрим прямую $n$, принадлежащую плоскости $\alpha$ и проходящую через некоторую точку $A’$, расположенную между точками $A$ и $B$ на определяемой ими прямой, и точку $N$, не принадлежащую плоскости $\beta$. Эта прямая, пересекающая один из отрезков, образованных тремя точками плоскости $\alpha$ ($A$, $B$ и $C$), должна также, согласно аксиоме Паша (II.4)), пересечь ещё какой ни будь один из оставшихся двух отрезков в некоторой точке $B’$. Следовательно, прямая $n$, содержащая две точки плоскости $\beta$ ($A’$ и $B’$), лежит в этой плоскости, но точка $N$, принадлежащая прямой $n$, согласно условию не принадлежит плоскости $\beta$.
Это противоречие устанавливает связь между аксиомами и позволяет не только доказать утверждение I.5), но и аксиому Паша, введя I.5) в аксиоматическую модель:
Пусть даны некоторая плоскость $\alpha$ и прямая $n$, пересекающая в некоторой точке $N$ один из отрезков, образованных не лежащими на одной прямой точками $A$, $B$ и $C$ плоскости $\alpha$, и не содержащая ни одну из них. Можно доказать, что прямая $n$ пересекает ещё какой-нибудь один из оставшихся отрезков, исключив системы, где прямая пересекает только один отрезок или все три. Сначала рассмотрим первый случай. Предположим, что прямая $n$ больше не имеет пересечений в этой системе, тогда согласно аксиоме I.6) прямая $n$, по условию принадлежащая $\alpha$, не принадлежит плоскости $\beta$, определённой, согласно I.4), точками $A$, $B$ и $C$. Следовательно, три точки, не лежащие на одной прямой, принадлежат одновременно двум разным плоскостям, что противоречит аксиоме I.5). Это противоречие доказывает, что прямая $n$ пересекает ещё хотя бы один отрезок. Второй случай, предполагающий пересечение трёх отрезков, противоречит аксиоме I.2), так как любые две точки пересечения прямой $n$, кроме самой $n$ принадлежат ещё и прямой, определяемой ими согласно I.1). Следовательно, так как иное противоречит аксиоме I.5) или I.2), прямая $n$ пересекает ещё какой-нибудь один отрезок из двух оставшихся.
Мне не удалось найти ошибки в своих рассуждениях, поэтому я решил изложить их для общественного обсуждения. Я заранее извиняюсь за ошибки, которые я мог допустить, создавая тему, это мой первый подобный опыт и я внимательно отнесусь к вашей критике.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Возвращено.

[Xaositect]

PRaIMER в сообщении #908581 писал(а):

[...] Сначала рассмотрим первый случай. Предположим, что прямая $n$ больше не имеет пересечений в этой системе, тогда согласно аксиоме I.6) прямая $n$, по условию принадлежащая $\alpha$, не принадлежит плоскости $\beta$, определённой, согласно I.4), точками $A$, $B$ и $C$. [...]

Как сделан этот вывод? Почему вы не рассматриваете случай, когда прямая $n$ содержит какую-то точку $X$, принадлежащую плоскости $ABC$, но не лежащую ни на одной из сторон треугольника?

[PRaIMER]

В аксиоме I.6) говорится о том, что если две точки прямой принадлежат одной плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. С другой стороны аксиома I.4) говорит, что через любые три не лежащие на одной прямой точки можно провести плоскость. При этом утверждение, что любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют эту плоскость, является теоремой требующей доказательства(на основе аксиом I.4) и I.5)). В данном случае предположение, что прямая $n$, принадлежащая $\alpha$, может пересечь только одну сторону треугольника $ABC$, лишает возможности доказать что $n$, имеющая точки внутри треугольника $ABC$ на плоскости $\alpha$, имеет так же точки внутри того же треугольника на плоскости $\beta$, так как нельзя определить, что прямая пересекает некоторый отрезок $A’B’$(оба конца которого располагаются на сторонах $ABC$, и который согласно I.6) принадлежит обоим плоскостям) в какой ни будь точке $X$, либо что отрезок $A’N’$, один из концов которого расположен на сторонах треугольника а второй на $n$, принадлежит плоскости $\beta$(хотя он определённо принадлежит $\alpha$). Или в общем случае нет возможности доказать, что некоторая прямая $m$, принадлежащая $\beta$, имеет пересечение с $n$, если это не дано в условии.

[Xaositect]

Естественно, что мы лишаемся возможности это доказать, для этого же нужна аксиома Паша.
Но ведь то, что мы не можем это доказать, не означает, что мы пришли к противоречию.

[PRaIMER]

Xaositect в сообщении #908838 писал(а):

Естественно, что мы лишаемся возможности это доказать, для этого же нужна аксиома Паша.

Вы хотите сказать что, приняв указанное вами утверждение, я сделал систему аксиом дедуктивно неполной?
Ваш первый комментарий подтолкнул меня к мысли, что можно сделать более сильное предположение. Допустить не только возможность пересечения прямой $n$ всего одной стороны треугольника, но и распространить действие аксиомы I.5) на систему. Тогда выйдет, что в одной плоскости $\alpha$ можно через некоторую точку (допустим $A$) провести более одной прямой, не пересекающей данную (допустим $n$), что видимо должно противоречить аксиоме параллельности (V.).

[Xaositect]

PRaIMER в сообщении #908858 писал(а):

Ваш первый комментарий
подтолкнул меня к мысли, что можно сделать более сильное предположение. Допустить не только возможность пересечения прямой $n$ всего одной стороны треугольника, но и распространить действие аксиомы I.5) на систему. Тогда выйдет, что в одной плоскости $\alpha$ можно через некоторую точку (допустим $A$) провести более одной прямой, не пересекающей данную (допустим $n$), что видимо должно противоречить аксиоме параллельности (V.).

Да, это уже лучше. Случай, когда прямая $n$ пересекает прямую $AB$, но не пересекает ни прямую $BC$, ни прямую $AC$, невозможен по аксиоме о параллельных.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда прямая $n$ пересекает отрезок $AB$ в точке $N$, пересекает прямую $AC$ в точке $M$, не пересекает прямую $BC$, и точка $M$ не лежит на отрезке $AC$. В этом случае аксиома Паша тоже не выполняется. Можно ли доказать невозможность такой конфигурации?

[PRaIMER]

Мы можем провести некоторую прямую $NM’$ так, что $M’$ будет лежать между $A$ и $C$ на прямой $AC$, тогда описанный вами случай ни чем не будет отличаться от предыдущего, только роль прямой $n$ займёт прямая $BC$, а точки $N$ точка $C$.

[Xaositect]

PRaIMER в сообщении #908873 писал(а):

Мы можем провести некоторую прямую $NM’$ так, что $M’$ будет лежать между $A$ и $C$ на прямой $AC$, тогда описанный вами случай ни чем не будет отличаться от предыдущего, только роль прямой $n$ займёт прямая $BC$, а точки $N$ точка $C$.

Не понял. Может быть, все такие прямые $NM'$ будут пересекать $BC$.

[PRaIMER]

Xaositect в сообщении #908879 писал(а):

Может быть, все такие прямые $NM'$ будут пересекать $BC$.

Насколько я понимаю, здесь определённо на одноимённом отрезке прямой $AC$ можно выделить какие угодно точки $M_1,M_2…M_n…$ в том числе и такую (согласно аксиоме V.) что определённая ею и точкой $N$ прямая будет параллельна $BC$.
Но для вопроса существенно только то, что треугольник $NM’M$ и прямая $BC$, не пересекающая $NM$ ведут себя также, как и прямая $n$ и треугольник $ABC$ из предыдущего случая (необходимо заметить, что прямая $BC$ не пересекает отрезок $NM’$, так как вы уже сказали, что точка $N$ лежит между $A$ и $B$ на определяемой ими прямой, а аксиома II.3) запрещает среди трёх точек прямой лежать между двумя другими более чем одной из них).

[Xaositect]

PRaIMER в сообщении #908887 писал(а):

Насколько я понимаю, здесь определённо на одноимённом отрезке прямой $AC$ можно выделить какие угодно точки $M_1,M_2…M_n…$ в том числе и такую (согласно аксиоме V.) что определённая ею и точкой $N$ прямая будет параллельна $BC$.

Такая точка должны быть на прямой $AC$, а на отрезке - без аксиомы Паша непонятно. У нас уже есть прямая, параллельная $BC$ - это $n$, все остальные должны ее пересекать.

[PRaIMER]

Видимо я не понимаю, на что вы мне указываете

Xaositect в сообщении #908890 писал(а):

на отрезке

должно быть в кавычках?

[Xaositect]

Я указываю на то, что нельзя утверждать, что пересечение прямой $NM'$, которая параллельна $BC$, и прямой $AC$, должно лежать на отрезке $AC$, а не вне его.

[PRaIMER]

Xaositect в сообщении #908894 писал(а):

прямой $NM'$, которая параллельна $BC$, и прямой $AC$,

Мне кажется, я ни где не говорил, что прямые $NM'$ и $AC$ параллельны, напротив я сказал что они имеют общую точку $M'$, которая к тому же лежит между $A$ и $C$.