2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11
 
 Re: О возникновении разных мат. теорий и прочее
Сообщение17.09.2014, 02:25 


23/12/07
1763
Xaositect в сообщении #908688 писал(а):
Начните с учебников по матлогике и познакомьтесь поподробнее.

Ясно. То есть, простому смертному понять это не дано. Ок.

 Профиль  
                  
 
 Re: О возникновении разных мат. теорий и прочее
Сообщение17.09.2014, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
_hum_ в сообщении #908687 писал(а):
Я думаю, вариант 2 "сужает" вариант 1 :) Содержательно, $a$ - это символ для обозначения обычной вероятности, а $b$ - для условной. Есть два подхода - в одном условная вероятноcть самостоятельное понятие и теорема умножения является аксиомой (это вариант 1), и есть привычная колмогоровская теория, в которой условная определяется как производное понятие через отношение безусловных (вариант 2). Вроде "мощность" этих теорий одинакова.
С точки зрения формальной теории разницы между аксиомой и определением нет, так что это одна и та же теория.

Если рассмотреть такие теории:
1. Теория, в которой нет символа для условной вероятности.
2. Теория, в котором есть символ для условной вероятности и аксиома $P(AB) = P(B) P(A|B)$ или $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
То вторая - консервативное расширение первой

-- Ср сен 17, 2014 03:29:47 --

_hum_ в сообщении #908689 писал(а):
Ясно. То есть, простому смертному понять это не дано. Ок.
Почему же? Я считаю, что большинство простых смертных может выучить математическую логику при достаточной мотивации.

 Профиль  
                  
 
 Re: О возникновении разных мат. теорий и прочее
Сообщение17.09.2014, 02:47 


23/12/07
1763
Xaositect в сообщении #908690 писал(а):
С точки зрения формальной теории разницы между аксиомой и определением нет, так что это одна и та же теория.

Кхм... Но ведь в аксиому входит символ исходного алфавита, а при замене аксиомы определением он уже может быть изъят из исходного алфавита. Или я что-то путаю? То есть, если в одной теории есть символ $P_A$ условной вероятности в исходном алфавите и в аксиоме $P(AB) = P(A) P_A(B)$, а во второй нет символа в исходном алфавите и аксиомы, но этот символ встречается для обозначения определения, типа $P_A(B) ::= P(AB)/P(A))$, то разве это не считается все-таки разными теориями (ведь символ, обозначающий определение - это "синтаксический сахар")?

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #908690 писал(а):
Почему же? Я считаю, что большинство простых смертных может выучить математическую логику при достаточной мотивации.

О да, эти толстенные гроссбуки, с кучей символов и минимумом картинок, да и еще по такой ломающей голову обычному человеку теме. Это, действительно, надо сильная мотивация и время, чтобы это все выдержать (я не раз брался, но дальше доказательства непротиворечивости и полноты теории предикатов не доходило).

А хотелось бы что-нибудь "на пальцах", как в серии книг Босса (хотя у него про логику плохо написано), но в то же время и с достаточной степенью строгости.
Мне ж не для решения задач, а просто для создания общего представления, что ж такое творится в мире и математике, в частности.

 Профиль  
                  
 
 Re: О возникновении разных мат. теорий и прочее
Сообщение17.09.2014, 02:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Аксиомы и определения - это одно и то же потому, что это исходные пункты для выводов.

_hum_ в сообщении #908691 писал(а):
а во второй нет символа в исходном алфавите и аксиомы, но этот символ встречается для обозначения определения, типа $P_A(B) ::= P(AB)/P(B))$, то разве это не считается все-таки разными теориями (ведь символ, обозначающий определение - это "синтаксический сахар")?
А если нет символа, то как он появляется в формулах?

Xaositect в сообщении #908690 писал(а):
1. Теория, в которой нет символа для условной вероятности.
2. Теория, в котором есть символ для условной вероятности и аксиома $P(AB) = P(B) P(A|B)$ или $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
Вот тут переход от первой теории ко второй - это как раз введение символа $P(A|B)$ и его определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: О возникновении разных мат. теорий и прочее
Сообщение17.09.2014, 02:57 


23/12/07
1763
Xaositect в сообщении #908692 писал(а):
А если нет символа, то как он появляется в формулах?

Как "синтаксический сахар" - то есть, его можно было бы не писать, а текстуально заменить тем, что он обозначает. Грубо говоря, это метасимвол, который после компиляции разворачивается в формулу, которая ему приписана.

-- Ср сен 17, 2014 04:02:59 --

Помните в теме "Как в аксиом. подходе формализуются определения ?" вы отвечали
Xaositect в сообщении #724482 писал(а):
У Рассела был такой оператор $\iota$. Терм $\iota x.F(x)$ означал объект, для которого выполняется $F$, если он единственен. Аксиома для использования этой штуки была что-то типа $G(\iota x . F(x)) \Leftrightarrow \exists ! x (F(x)) \& \forall y (F(y)\to G(y))$ (по смыслу такая, с конкретной формулировкой могу врать)

То есть, определение, вообще говоря, не предполагает никакого отдельного символа для определяемого объекта. И использование его, как мне видится, - это чисто для удобства чтения человеком (как метасокращение).

 Профиль  
                  
 
 Re: О возникновении разных мат. теорий и прочее
Сообщение17.09.2014, 03:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
_hum_ в сообщении #908693 писал(а):
Как "синтаксический сахар" - то есть, его можно было бы не писать, а текстуально заменить тем, что он обозначает. Грубо говоря, это метасимвол, который после компиляции разворачивается в формулу, которая ему приписана.
А. Ну если так, то Ваш вариант 2 с определением - это моя теория 1, просто пишем мы утверждения не так, как они на самом деле выглядят.

 Профиль  
                  
 
 Re: О возникновении разных мат. теорий и прочее
Сообщение17.09.2014, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
_hum_ в сообщении #908691 писал(а):
О да, эти толстенные гроссбуки, с кучей символов и минимумом картинок, да и еще по такой ломающей голову обычному человеку теме.

1. Не надо читать быстро. Учебник - это не детектив, где страницы глотают, потому что они все - всего лишь прелюдия к объявлению преступника в самом конце. В учебнике - по своему отдельному преступлению и преступнику в каждом параграфе.
2. Рисовать картинки надо самому. Вообще, читать учебник надо с ручкой и бумагой. Всё, что сжато - расписывать. Всё, что непонятно - выписывать и разбирать подробно.

И если этим (и нескольким ещё похожим) рецептам следовать, то всё будет, как говорит Xaositect: всем всё по силам. Дорогу осилит идущий.

-- 17.09.2014 18:13:05 --

Голову надо ломать обстоятельно и не спеша.
:-)

 Профиль  
                  
 
 Re: О возникновении разных мат. теорий и прочее
Сообщение31.10.2015, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
Xaositect в сообщении #908289 писал(а):
Вот была у Черча теория не для вычислимости, а для логики. В ней он доказал какие-то утверждения. Теория оказалась противоречивой, он некоторые конструкции из нее убрал, противоречие пропало, но многие утверждения остались.
А потом он подумал, что в ней интерпретируется арифметика Пеано и то, что получается, можно взять за определение вычислимой конструкции. Взял эту теорию и назвал определимые в ней функции вычислимыми. А утверждения остались.

Очень интересно. Где об этом можно почитать?
В смысле - об истории вопроса. Где почитать про логику и теорию алгоритмов, я знаю, да и кое-что уже худо-бедно почитал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 158 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group