Проблема с рядом

[MestnyBomzh]

Здравствуйте! Решая задачу с рядами столкнулся со странной проблемой. Дан ряд:

$$\sum _{n=1}^{\infty} (2^{\frac{1}{2^{n-1}}}-1)^2\cdot2^n$$

График частичных сумм при $n$ от $1$ до $75$:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=S ... 1+to+75%5D
Когда же я раскрываю скобки, то получаю ряд:

$$\sum _{n=1}^{\infty}2^{\frac{1}{2^{\left(n-2\right)}}+n}-2^{\frac{1}{2^{\left(n-1\right)}}+1+n}+2^n$$

График частичных сумм $n$ от $1$ до $75$:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=S ... 1+to+75%5D
Так вот, вопрос, что происходит в точке, примерно, $n=50$ и почему меняется из-за этого сумма ряда, если все скобки раскрыл я правильно, и до этого промежутка они накладываются друг на друга по графику

-- 15.09.2014, 00:50 --

Ну и когда я считаю сумму полученного ряда, то получаю $6$(как и у вольфа, только у него очень странныq скачок где-то около $n=50$). Без раскрытия скобок я не знаю как посчитать, а вольф показывает что-то около $3.22$, да и без этих скачков

[Ms-dos4]

Скобки вы раскрыли верно (хотя лучше писать $\[{({2^{{2^{1 - n}}}} - 1)^2}{2^n} = {2^{{2^{2 - n}} + n}} - {2^{{2^{1 - n}} + n + 1}} + {2^n}\]$) без "многоэтажек"). Но вот и пример, почему этого делать (раскрывать такие выражения) не стоит - это проблема с точностью вычислений (да и зачем вообще его раскрывать, ничего хорошего это и в плане символьных вычислений не даёт)

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #907851 писал(а):

Так вот, вопрос, что происходит в точке, примерно, $n=50$ и почему меняется из-за этого сумма ряда,

Начинают доминировать погрешности округления. Около пятидесяти -- судя по всему, из-за того, что альфа (и Вы) считает в стандартном восьмибайтном плавающем режиме (double); как раз около этого места у всех трёх слагаемых (а они порядка $2^n$) исчерпывается мантисса и эти числа становятся в машинном представлении фактически целыми, откуда и целочисленный результат (что есть, разумеется, филькина грамота). Если же скобки не раскрывать, то вычисления вполне устойчивы (начиная опять же где-то с пятидесяти или шестидесяти члены ряда станут равны попросту машинному нулю в пределах double, что вполне соответствует реальности).

[MestnyBomzh]

ewert
Спасибо за ответ, но как тогда объяснить тот факт, что и в аналитисеском решении получается шесть? Выкладываю его сюда:

$$\sum _{n=1}^{\infty}2^{n+{2^{\left2-n\right}}}-2^{n+{2^{\left1-n\right}}+1}+2^n$$

Частичная суммa:

$$S_n=8+(2+2^2+2^3+...2^n)-2^{n+2^{1-n}+1} \Leftrightarrow S_n=8+(2+2^2+2^3+....+2^{n-1})+2^n(1-2^{2^{1-n}+1})$$

При переходе к пределу:

$$n \to +\infty: S=\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} 8+(2+2^2+...+2^{n-1}-2^n)=...=\lim_{n \to +\infty} 8+(2-2^2)=6$$

[nnosipov]

MestnyBomzh в сообщении #907982 писал(а):

При переходе к пределу:

Неаккуратно перешли. Предел там не $6$.

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #907982 писал(а):

Частичная суммa:

$$S_n=8+(2+2^2+2^3+...2^n)-2^{n+2^{1-n}+1} \Leftrightarrow S_n=8+(2+2^2+2^3+....+2^{n-1})+2^n(1-2^{2^{1-n}+1})$$

Это верно, но переход ко второму варианту был совершенно напрасен: хотя скобка в самом последнем слагаемом и стремится к минус единице, отсюда ещё вовсе не следует, что само это слагаемое ведёт себя как чистая степень. Надо было свернуть геометрическую прогрессию сразу же в исходном (левом) выражении, тогда после вынесения $2^{n+1}$ за скобки в хвостике получится второй замечательный предел, и даст он уже вполне дробное и известно какое число (хотя альфа об этом и не догадывается).

[MestnyBomzh]

ewert в сообщении #908108 писал(а):

хотя скобка в самом последнем слагаемом и стремится к минус единице, отсюда ещё вовсе не следует, что само это слагаемое ведёт себя как чистая степень.

А почему так происходит?
И еще вопрос, в пределе при замене $y=2^{1-n}, y \to 0$ можно лопитировать уже по новой переменной?

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #908247 писал(а):

можно лопитировать уже по новой переменной?

При желании можно, но не нужно. Там тупо второй замечательный предел с точностью до очевидной замены переменной, а этот предел идёт ещё до каких бы то ни было дифференцирований; напротив, дифференцирования определяются им.

MestnyBomzh в сообщении #908247 писал(а):

А почему так происходит?

Потому, что первый сомножитель уходит на бесконечность. В подобной ситуации стабилизация второго сомножителя сама по себе ещё ни о чём не говорит: существенно, с какой скоростью он стабилизируется.

[MestnyBomzh]

ewert
А тот факт, что результаты моих неверных вычислений предела и вычислений альфой суммы ряда совпали с чем-нибудь связан? Или это просто совпадение?

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #908277 писал(а):

А тот факт, что результаты моих неверных вычислений предела и вычислений альфой суммы ряда совпали с чем-нибудь связан?

Не исключено, что и связан: приведённое там у них выражение $75557863725914323419142-75557863725914323419136\cdot\sqrt[18889465931478580854784]2$ -- это символьно точный результат ($6+2^{76}-2^{76+2^{-74}}$) сворачивания суммы, и в восьмибайтовом плавающем формате последний корень и впрямь равен в точности единице, что и отражено на графике. Но тогда всё равно непонятно, почему они параллельно с этим по той же ссылке дают и верное значение суммы. Разве что у них при построении графиков и при просто вычислениях используются разные процедуры счёта.