2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проблема с рядом
Сообщение14.09.2014, 23:42 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Здравствуйте! Решая задачу с рядами столкнулся со странной проблемой. Дан ряд: $$\sum _{n=1}^{\infty} (2^{\frac{1}{2^{n-1}}}-1)^2\cdot2^n$$ График частичных сумм при $n$ от $1$ до $75$:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=S ... 1+to+75%5D
Когда же я раскрываю скобки, то получаю ряд: $$\sum _{n=1}^{\infty}2^{\frac{1}{2^{\left(n-2\right)}}+n}-2^{\frac{1}{2^{\left(n-1\right)}}+1+n}+2^n$$
График частичных сумм $n$ от $1$ до $75$:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=S ... 1+to+75%5D
Так вот, вопрос, что происходит в точке, примерно, $n=50$ и почему меняется из-за этого сумма ряда, если все скобки раскрыл я правильно, и до этого промежутка они накладываются друг на друга по графику

-- 15.09.2014, 00:50 --

Ну и когда я считаю сумму полученного ряда, то получаю $6$(как и у вольфа, только у него очень странныq скачок где-то около $n=50$). Без раскрытия скобок я не знаю как посчитать, а вольф показывает что-то около $3.22$, да и без этих скачков

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с рядом
Сообщение15.09.2014, 00:49 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Скобки вы раскрыли верно (хотя лучше писать $\[{({2^{{2^{1 - n}}}} - 1)^2}{2^n} = {2^{{2^{2 - n}} + n}} - {2^{{2^{1 - n}} + n + 1}} + {2^n}\]$) без "многоэтажек"). Но вот и пример, почему этого делать (раскрывать такие выражения) не стоит - это проблема с точностью вычислений (да и зачем вообще его раскрывать, ничего хорошего это и в плане символьных вычислений не даёт)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с рядом
Сообщение15.09.2014, 08:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
MestnyBomzh в сообщении #907851 писал(а):
Так вот, вопрос, что происходит в точке, примерно, $n=50$ и почему меняется из-за этого сумма ряда,

Начинают доминировать погрешности округления. Около пятидесяти -- судя по всему, из-за того, что альфа (и Вы) считает в стандартном восьмибайтном плавающем режиме (double); как раз около этого места у всех трёх слагаемых (а они порядка $2^n$) исчерпывается мантисса и эти числа становятся в машинном представлении фактически целыми, откуда и целочисленный результат (что есть, разумеется, филькина грамота). Если же скобки не раскрывать, то вычисления вполне устойчивы (начиная опять же где-то с пятидесяти или шестидесяти члены ряда станут равны попросту машинному нулю в пределах double, что вполне соответствует реальности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с рядом
Сообщение15.09.2014, 13:55 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
ewert
Спасибо за ответ, но как тогда объяснить тот факт, что и в аналитисеском решении получается шесть? Выкладываю его сюда:
$$\sum _{n=1}^{\infty}2^{n+{2^{\left2-n\right}}}-2^{n+{2^{\left1-n\right}}+1}+2^n$$
Частичная суммa: $$S_n=8+(2+2^2+2^3+...2^n)-2^{n+2^{1-n}+1} \Leftrightarrow S_n=8+(2+2^2+2^3+....+2^{n-1})+2^n(1-2^{2^{1-n}+1})$$
При переходе к пределу: $$n \to +\infty: S=\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} 8+(2+2^2+...+2^{n-1}-2^n)=...=\lim_{n \to +\infty} 8+(2-2^2)=6$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с рядом
Сообщение15.09.2014, 16:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
MestnyBomzh в сообщении #907982 писал(а):
При переходе к пределу:
Неаккуратно перешли. Предел там не $6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с рядом
Сообщение15.09.2014, 18:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
MestnyBomzh в сообщении #907982 писал(а):
Частичная суммa: $$S_n=8+(2+2^2+2^3+...2^n)-2^{n+2^{1-n}+1} \Leftrightarrow S_n=8+(2+2^2+2^3+....+2^{n-1})+2^n(1-2^{2^{1-n}+1})$$

Это верно, но переход ко второму варианту был совершенно напрасен: хотя скобка в самом последнем слагаемом и стремится к минус единице, отсюда ещё вовсе не следует, что само это слагаемое ведёт себя как чистая степень. Надо было свернуть геометрическую прогрессию сразу же в исходном (левом) выражении, тогда после вынесения $2^{n+1}$ за скобки в хвостике получится второй замечательный предел, и даст он уже вполне дробное и известно какое число (хотя альфа об этом и не догадывается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с рядом
Сообщение15.09.2014, 22:58 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
ewert в сообщении #908108 писал(а):
хотя скобка в самом последнем слагаемом и стремится к минус единице, отсюда ещё вовсе не следует, что само это слагаемое ведёт себя как чистая степень.

А почему так происходит?
И еще вопрос, в пределе при замене $y=2^{1-n}, y \to 0$ можно лопитировать уже по новой переменной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с рядом
Сообщение15.09.2014, 23:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
MestnyBomzh в сообщении #908247 писал(а):
можно лопитировать уже по новой переменной?

При желании можно, но не нужно. Там тупо второй замечательный предел с точностью до очевидной замены переменной, а этот предел идёт ещё до каких бы то ни было дифференцирований; напротив, дифференцирования определяются им.

MestnyBomzh в сообщении #908247 писал(а):
А почему так происходит?

Потому, что первый сомножитель уходит на бесконечность. В подобной ситуации стабилизация второго сомножителя сама по себе ещё ни о чём не говорит: существенно, с какой скоростью он стабилизируется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с рядом
Сообщение16.09.2014, 00:24 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
ewert
А тот факт, что результаты моих неверных вычислений предела и вычислений альфой суммы ряда совпали с чем-нибудь связан? Или это просто совпадение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с рядом
Сообщение16.09.2014, 06:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
MestnyBomzh в сообщении #908277 писал(а):
А тот факт, что результаты моих неверных вычислений предела и вычислений альфой суммы ряда совпали с чем-нибудь связан?

Не исключено, что и связан: приведённое там у них выражение $75557863725914323419142-75557863725914323419136\cdot\sqrt[18889465931478580854784]2$ -- это символьно точный результат ($6+2^{76}-2^{76+2^{-74}}$) сворачивания суммы, и в восьмибайтовом плавающем формате последний корень и впрямь равен в точности единице, что и отражено на графике. Но тогда всё равно непонятно, почему они параллельно с этим по той же ссылке дают и верное значение суммы. Разве что у них при построении графиков и при просто вычислениях используются разные процедуры счёта.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group