Найти поток поля через часть поверхности

[mvb13]

Помогите пожалуйста решить такую задачу:

Найти поток поля $\vec a =x\vec i-xy\vec j+z\vec k $через часть поверхности
$S: x^2+z^2=9$ заключенную между плоскостями $y=1$ и $x+y=4$ в направлении внешней нормали.

Я пытаюсь применить формулу Остроградского-Гаусса

$$\iiint_S(2-x)dxdydz=\int_{-3}^3 dx \int_1^{4-x} dy \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} (2-x)dz $$

Правильно ли я расставил пределы интегрирования?

[Brukvalub]

А при чем здесь формула Остроградского-Гаусса? Ведь рассматриваемый кусок поверхности цилиндра не образует замкнутой поверхности.

[mvb13]

Цитата:

А при чем здесь формула Остроградского-Гаусса? Ведь рассматриваемый кусок поверхности цилиндра не образует замкнутой поверхности.

Получается что поток через плоскости $y=1$ ,$x+y=4$ считать не нужно ?

[Brukvalub]

Как я понял из текста задачи - не нужно.

[mvb13]

Хорошо, тогда я попытаюсь вычислить поток как поверхностный интеграл первого рода.
(1.)Можно ли поступить так?

Для этого я проектирую поверхность на плоскость Oxy. Поверхность получается такой :
треугольник с координатами вершин $(3,1) (-3,1) (-3,7)$

(2.) Правильно ли я нахожу проекцию?

(3.) Если (1) и (2) верны тогда я нахожу нормаль , нормирую ее и вычисляю интеграл по найденой в (2) области.

Подскажите пожалуйста можно ли таким способом решить данную задачу???

[mvb13]

Помогите пожалуйста, мне очень сильно надо решить эту задачу.

[Brukvalub]

Прежде всего, извините. Я хотел помочь вам еще вчера, но отвлёкся и забыл ответить

mvb13 писал(а):

Для этого я проектирую поверхность на плоскость Oxy. Поверхность получается такой :
треугольник с координатами вершин $(3,1) (-3,1) (-3,7)$

Нет. На эту плоскость поверхность проектируется сразу двумя своими сторонами. Поэтому лучше продолжить Ваши вычисления по ф-ле Остроградского-Гаусса (там Вы написали все верно), а затем вычесть из результата интегралы по лишним кускам: $y=1$ и $x+y=4$ (собственно, на это я и намекал в своих предыдущих постах, но как-то неуклюже) В общем, с эффективной помощью Вам у меня получилось как-то неэффективно. Но сейчас - действуйте, я буду следить за темой!

[mvb13]

(1)Я пытаюсь вычислить трехкратный интеграл следующим образом:

$$ \int_{-3}^3dx \int_1^{4-x}dy \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}}(2-x)dz =\int_{-3}^{3}(2-x)(3-x)2{\sqrt{9-x^2}}dx=I $$

$$ I=2(6\int_{-3}^{3}{\sqrt{9-x^2}}dx- 5\int_{-3}^{3}x{\sqrt{9-x^2}}dx+\int_{-3}^{3}x^2{\sqrt{9-x^2}}dx) $$

Первый и третий интегралы я беру по частям , второй равен 0:

$$ \int_{-3}^{3}{\sqrt{9-x^2}}dx=\frac 9 2\pi$$

$$ \int_{-3}^{3}{x\sqrt{9-x^2}}dx=0$$

$$ \int_{-3}^{3}{x^2\sqrt{9-x^2}}dx=\frac {81} 8\pi$$

Окончательно:

$$I=\frac {297} 4\pi$$

(2)Нормали :
к плоскости

$$y-1=0 $$

$$\vec{N1}(0,1,0)$$

к плоскости

$$x+y-4=0 $$

$$\vec{N2}(1,1,0)$$

(Если я не ошибаюсь нормаль к плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ имеет координаты $(A,B,C)$)

[Brukvalub]

mvb13 писал(а):

Первый и третий интегралы я беру по частям

А я бы воспользовался тригонометрической подстановкой, или бета-функцией, или сразу таблицей .А теперь, Вы, как Микеланжело, должны убрать все лишнее

[mvb13]

У меня появились сомнения относительно первой нормали ,ведь получается ,что она направлена внутрь поверкности, а суммарный поток найден относительно внешней нормали .Не нужно ли поменять координаты нормали $\vec{N1}$на $(0,-1,0)$?

[Brukvalub]

mvb13 писал(а):

Не нужно ли поменять координаты нормали $\vec{N1}$на $(0,-1,0)$?

Конечно нужно! Сегодня сервер с Форумом у меня весь день жутко тормозит, поэтому при чтении Вашего сообщения днем его часть про нормали вообще не открылась!

[mvb13]

Поток через окружность принадлежащую плоскости y=1 я вычисляю как поверхностный интеграл первого рода (можно ли так делать в данном случае ,когда поверхность является плоскостью?) :

$$I1=\iint_{S}(f(x,y,z))dS=\iint_{\Omega}(f(x,z,\varphi(x,z)))\sqrt{1+(\frac{\partial\varphi}{\partial x})^2+(\frac{\partial\varphi}{\partial z})^2}dxdz$$

$$y=\varphi(x,z)=0 $$

(в уравнение окружности y вообще не входит поэтому
равен 0)

$$I1=\int_{-3}^{3}dx\int_{-\sqrt{9-x^2}}}^{\sqrt{9-x^2}}xdz=0$$

(этот интеграл уже был вычислен)

[Brukvalub]

mvb13 писал(а):

Поток через окружность

Поток бывает через поверхность. А остальное - верно (только вот вторую нормаль не отнормировали, но на результат это не повлияло).

[mvb13]

1.

Цитата:

только вот вторую нормаль не отнормировали

Покажите пожалуйста как это сделать в данном случае

2.Я не уверен в том как вычислить второй интеграл
У меня есть такой вариант:

$$y=\varphi(x,z)=4-x $$

$$\sqrt{1+(\frac{\partial\varphi}{\partial x})^2+(\frac{\partial\varphi}{\partial z})^2} }=\sqrt{2} $$

$$I2=\iint_{S}(x-xy)\sqrt{2}dxdz=(1-y)2\sqrt{2}\int_{-3}^{3}x\sqrt{9-x^2}dx=0$$

[Brukvalub]

mvb13 писал(а):

Цитата:
только вот вторую нормаль не отнормировали

Покажите пожалуйста как это сделать в данном случае

Как и всегда - разделить нормаль на ее длину. А вот со вторым интегралом Вы напутали - как же можно выносить (1-у) за интеграл? Ведь Вы сами пишете:

mvb13 писал(а):

У меня есть такой вариант:

$$y=\varphi(x,z)=4-x $$

И, еще раз скажу: перед умножением поля на нормаль, ее (нормаль) нужно отнормировать!