2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Область притяжения по линейному приближению
Сообщение15.09.2014, 02:51 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Здравствуйте. У меня есть система нелинейных ДУ:

$\dot{x} = f(x), \quad x\in\mathbb{R}^n$

Я знаю одну из фазовых траекторий этой системы $x_\star(t)$. В каждый момент времени $t_n$ в точке фазового пространства $x_\star(t_n)$ я некоторым образом строю площадку Пуанкаре. На этой площадке ввожу локальные координаты $z$ таким образом, что $z = 0$ соответствует $x_\star(t_n)$. Переписав динамику в новых координатах

$\dot{z} = g(z,t)$

и линеаризовав её, я получаю систему линейных ДУ:

$\dot{\bar{z}} = A(t) \bar{z}$

Я знаю, что тривиальное решение последней системы является экспоненциально устойчивым. Вопрос: как оценить область притяжения траектории $x_\star$ для исходной нелинейной системы? То есть существует некоторая трубка внутри которой все траектории сходятся к $x_\star$ -- как оценить размер этой трубки?

Есть теорема Зубова об области притяжения, но она справедлива лишь для автономных систем. В моём же случае уравнение относительно $z$ явно содержит время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Область притяжения по линейному приближению
Сообщение15.09.2014, 12:14 


10/02/11
6786
cupuyc в сообщении #907872 писал(а):
я получаю систему линейных ДУ:

$\dot{\bar{z}} = A(t) \bar{z}$

Я знаю, что тривиальное решение последней системы является экспоненциально устойчивым.

из чего не следует еще устойчивость решения исходной системы.
cupuyc в сообщении #907872 писал(а):
Вопрос: как оценить область притяжения траектории $x_\star$ для исходной нелинейной системы?

в обещем случае только с помощью оценок, которые содержатся в доказательстве теоремы об устойчивости и которые весьма грубы, естественно

 Профиль  
                  
 
 Re: Область притяжения по линейному приближению
Сообщение15.09.2014, 14:57 


10/02/11
6786
Oleg Zubelevich в сообщении #907939 писал(а):
из чего не следует еще устойчивость решения исходной системы.
вообще-то нет, из экспоненциальной устойчивости следует устойчивость решения нелинейной системы, если под экспоненциальной устойчивостью понимается такая оценка фунд. матрицы $\|X(t)\|\le ce^{-\alpha t}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group