Область притяжения по линейному приближению

[cupuyc]

Здравствуйте. У меня есть система нелинейных ДУ:

$\dot{x} = f(x), \quad x\in\mathbb{R}^n$

Я знаю одну из фазовых траекторий этой системы $x_\star(t)$. В каждый момент времени $t_n$ в точке фазового пространства $x_\star(t_n)$ я некоторым образом строю площадку Пуанкаре. На этой площадке ввожу локальные координаты $z$ таким образом, что $z = 0$ соответствует $x_\star(t_n)$. Переписав динамику в новых координатах

$\dot{z} = g(z,t)$

и линеаризовав её, я получаю систему линейных ДУ:

$\dot{\bar{z}} = A(t) \bar{z}$

Я знаю, что тривиальное решение последней системы является экспоненциально устойчивым. Вопрос: как оценить область притяжения траектории $x_\star$ для исходной нелинейной системы? То есть существует некоторая трубка внутри которой все траектории сходятся к $x_\star$ -- как оценить размер этой трубки?

Есть теорема Зубова об области притяжения, но она справедлива лишь для автономных систем. В моём же случае уравнение относительно $z$ явно содержит время.

[Oleg Zubelevich]

cupuyc в сообщении #907872 писал(а):

я получаю систему линейных ДУ:

$\dot{\bar{z}} = A(t) \bar{z}$

Я знаю, что тривиальное решение последней системы является экспоненциально устойчивым.

из чего не следует еще устойчивость решения исходной системы.

cupuyc в сообщении #907872 писал(а):

Вопрос: как оценить область притяжения траектории $x_\star$ для исходной нелинейной системы?

в обещем случае только с помощью оценок, которые содержатся в доказательстве теоремы об устойчивости и которые весьма грубы, естественно

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #907939 писал(а):

из чего не следует еще устойчивость решения исходной системы.

вообще-то нет, из экспоненциальной устойчивости следует устойчивость решения нелинейной системы, если под экспоненциальной устойчивостью понимается такая оценка фунд. матрицы $\|X(t)\|\le ce^{-\alpha t}$