Монотонность

[Mikhail Sokolov]

О функции $G:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ известно следующее:
1. Она (нестрого) монотонно возрастает по каждому аргументу.
2. Если $G(x,y)=($соответственно, $\neq,<,>,\geqslant,\leqslant) G(x',y')$, то $G(ax+b,ay+b)=($соответственно, $\neq,<,>,\geqslant,\leqslant) G(ax'+b,ay'+b)$ для любых $a>0$ и $b$.
Вопрос:
Следует ли из этого, что для любых $x$,$y$ найдется такое $z$, что $G(x,y)=G(z,z)$.

Спасибо.
P.S. Пока, к сожалению, удается только доказать, что если это не так, то функция $g(z)=G(z,z)$ имеет довольно сложную структуру - она имеет разрыв первого рода в любом интервале.

[Zai]

Рассмотрите свойства кривой G(x,y)=const=G(x_0,y_0).
Она будет (нестрого) монотонно убывать и всегда будет пересекаться с кривой y=x. Точкой пересечения будет (z,z) в которой будет выполняться условие G(x_0,y_0)=G(z,z)

[Mikhail Sokolov]

Извините, пожалуйста, но я не понял. Равенство $G(x,y)=const=G(x_0,y_0)$ в общем случае не задает функции вида $y=f(x)$ поскольку $G$ не непрерывна (то есть могут существовать $x$ при которых не существует $y$, такого, что $G(x,y)=const$). Соответственно, мы не можем вроде как гарантировать, что множество точек, определяемое равенством $G(x,y)=const=G(x_0,y_0)$ содержит точку вида $(z,z)$.

[Zai]

Тогда Вам нужно доказать непрерывность G(x,x).

[Mikhail Sokolov]

К сожалению, непрерывностью пользоваться нельзя (она не следует из свойств 1, 2). Например, если функция $G(x,y)$ удовлетворяет свойствам 1 и 2 (и, допустим, непрерывна), то функция $f(G(x,y))$, где $f$ - разрывная монотонно возрастающая функция, также удовлетворяет 1, 2.

[Zai]

Mikhail Sokolov писал(а):

Вопрос:
Следует ли из этого, что для любых $x$,$y$ найдется такое $z$, что $G(x,y)=G(z,z)$.

Если в точке (x,y) разрыв функции, то как Вы определяете G(x,y)?

[PAV]

Zai писал(а):

Если в точке (x,y) разрыв функции, то как Вы определяете G(x,y)?

А в чем проблема, функция же в этой точке как-то определена.

[Mikhail Sokolov]

Единственная мысль (не ясно полезна ли она) пока такая: если для каких-то $x_0<y_0$ не существует такого $z$, что $G(x_0,y_0)=g(z)$. То в силу свойства 2 такого $z$ не существует и для всех $x<y$. В силу свойства 1 это говорит о том, что функция $g(z)$ имеет разрыв в каждом интервале $(x,y)$.

[Mikhail Sokolov]

Связанный вопрос:
существует ли в природе монотонно возрастающая (возможно нестрого) функция $G:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$, такая, что функция $g(x)=G(x,x)$ строго монотонно возрастает и $G(x_1,x_2)\neq g(x)$ для любых $x_1\neq x_2$, $x$?

[Brukvalub]

Mikhail Sokolov писал(а):

существует ли в природе монотонно возрастающая (возможно нестрого) функция $G:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$

Как у Вас упорядочено ${R}^2$ ?

[Mikhail Sokolov]

Под монотонно возрастающей функцией понимается, как обычно:
$x_1\leqslant y_1$ и $x_2\leqslant y_2$ влечет $G(x_1,x_2)\leqslant G(y_1,y_2)$.

[Mikhail Sokolov]

Не пойму где я неправ? Покритикуйте, пожалуйста.

Немного изменим первоначальную постановку задачи (пост от Сен 12, 2007 20:07:13):
Пусть функция $G:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$:
(1) (Нестрого) монотонно возрастает по каждому аргументу.
(2) Если $G(x_1,...,x_n) < G(y_1,...,y_n)$, то $G(x_1+b,...,x_n+b) < G(y_1+b,...,y_n+b)$ для любого $b$.

Требуется доказать (или опровергнуть), что для любых $x_1,...,x_n$ найдется такое $z$, что $G(x_1,...,x_n)=G(z,...,z)$.

Решение.
Обозначим $g(z)=G(z,...,z)$. Пусть для каких-то $x_1,...,x_n$ неравенство
(3) $G(x_1,...,x_n)\neq g(z)$
имеет место для всех $z$. В силу монотонности $g$ для данных $x_1,...,x_n$ найдется такое $z^*$, что
(4) $g(z^*-\epsilon) < G(x_1,...,x_n) < g(z^*+\epsilon)$ для любого $\epsilon>0$.
В силу (3) функция $g$ имеет разрыв первого рода в точке $z^*$ (действительно, если бы $g$ была непрерывна в точке $z^*$, то устремив в (4) $\epsilon$ к нулю, пролучили бы, что $G(x_1,...,x_n)=g(z^*)$).

В силу (2) и (3) имеем
(5) $G(x_1+b,...,x_n+b)\neq g(z+b)$ для всех $z$ и $b$.
В силу (2) и (4) для любого $b$ имеем:
(6) $g(z^*+b-\epsilon) < G(x_1+b,...,x_n+b) < g(z^*+b+\epsilon)$ для любого $\epsilon>0$.
Значит функция $g$ имеет разрыв первого рода также в точках $z^*+b$ для всех $b$, то есть в каждой точке вещественной прямой. Однако, монотонная функция может иметь не более, чем счетное число разрывов первого рода. Противоречие.

[Brukvalub]

Для начала, мне не кажется очевидным вот это утверждение:

Mikhail Sokolov писал(а):

В силу монотонности $g$ для данных $x_1,...,x_n$ найдется такое $z^*$, что
(4) $g(z^*-\epsilon) < G(x_1,...,x_n) < g(z^*+\epsilon)$ для любого $\epsilon>0$.

[Mikhail Sokolov]

А почему?
В силу монотонности, число $G(x_1,...,x_n)$ принадлежит интервалу $[g(\min x_i), g(\max x_i)]$. Соответственно, либо найдется точка $z^*$ из интервала $[\min x_i, \max x_i]$, что $g(z^*)=G(x_1,...,x_n)$ (что противоречит сделанному предположению), либо $G(x_1,...,x_n)$ попадает в "разрыв первого рода" функции $g(x)$. Обозначим точку, в которой имеет место этот разрыв за $z^*$, тогда будет иметь место указанное неравенство (4).

[Brukvalub]

Мой предыдущий вопрос снят

Mikhail Sokolov писал(а):

В силу (2) и (4) для любого $b$ имеем:
$g(z^*+b-\epsilon) < G(x_1+b,...,x_n+b) < g(z^*+b+\epsilon)$ для любого $\epsilon>0$.
Значит функция $g$ имеет разрыв первого рода также в точках $z^*+b$ для всех $b$

А мне кажется, что это выделенное мной "значит" на самом деле ничего не значит. Или обоснуйте это место поподробнее.