Равносторонний треугольник и расстояния до вершин

[scwec]

На плоскости дан равносторонний треугольник $\Delta$, сторона которого равна $1$.
Докажите, что на сторонах $\Delta$ и их продолжении есть только три точки,
отстоящих от каждой из вершин $\Delta$ на расстояния, выражаемые рациональными числами
и хотя бы одно из расстояний от которых до вершин, лежащих на одной прямой с точкой, есть квадрат рационального числа.

[gris]

Мне кажется, можно перевести эту красивую задачу в некрасивую форму: найти рациональные $x$, для которых выражение $\sqrt{ x^2+3/4}$ тоже рационально.
И поиграв с масштабированием перейти к натуральным числам.
Вот одно решение видно: это вершины треугольника, которых три.
То есть, надо доказать, что других решений нет.

[nnosipov]

gris в сообщении #907585 писал(а):

найти рациональные $x$, для которых выражение $\sqrt{ x^2+3/4}$ тоже рационально.

Что-то в условии не так: ведь на этой гиперболе много рациональных точек.

[gris]

Да, например $13/6; 11/8$ на продолжении, $1/8$ на стороне.

[scwec]

Уже увидел.
Добавил в условие строку
и хотя бы одно из расстояний от которых до вершин, лежащих на одной прямой с точкой, есть квадрат рационального числа.

[scwec]

gris в сообщении #907585 писал(а):

найти рациональные $x$, для которых выражение $\sqrt{x^2+3/4}$ тоже рационально

А почему так? Поясните, пожалуйста.

[gris]

Я это писал, когда не было добавки.
Поместим треугольник в систему координат, совместив произвольную сторону с осью абсцисс, а середину этой стороны с началом координат. Вершины треугольника будут иметь координаты $(-0.5,0),(0.5,0),(0,\sqrt3 /2)$. Возьмём произвольную точку на оси абсцисс, то есть на выбранной стороне треугольника или на её продолжении, с координатами $(x,0)$.
Расстояния от выбранной точки до каждой из вершин будут равны $|x-0.5|,|x+0.5|,\sqrt{x^2+3/4}$. Поскольку число $x$ и первые два расстояния одновременно либо рациональны, либо иррациональны, то для одновременной рациональности трёх расстояний необходима и достаточна одновременная рациональность $x$ и $\sqrt{x^2+3/4}$. Из соображений симметричности треугольника решение будет годиться для любой стороны. Можно также учесть симметрию задачи для выбранной стороны относительно начала координат.
Таким образом, любое положительное рациональное значение $x$, при котором $\sqrt{x^2+3/4}$ рационально, даст 6 решений задачи, исключая случай $x=0.5$, который даёт ровно три решения из-за совпадения точек на разных сторонах. Значение $x=0$ решением не является.

Добавление, конечно, немного усложняет конструкцию. Но можно по-прежнему ограничиться рассмотрением положительных рациональных $x$, для которых одно из чисел $|x-0.5|,|x+0.5|,\sqrt{x^2+3/4}$ будет квадратом рационального числа. Уже как-то тоскливо Может быть удобнее рассмотреть другую систему координат или вообще другой подход
Так как три вершины треугольника удовлетворяют и новому условию, то надо доказать то, что других решений нет. А получается, что всё равно одно такое решение порождает ещё пять. То есть число решений может (но не обязано) быть только $6k+3$ штук. Уже полегчало

[scwec]

Будем следовать Вашему решению.
Замечу, что добавленное условие не требует того, чтобы $\sqrt{x^2+3/4}$
было квадратом. Квадрат либо $x-0.5$ либо $x+0.5$,
либо оба квадраты. Посмотрите условие внимательно.
Если $x-0.5={a_1}^2$, то $x^2+3/4={a_1}^4+{a_1}^2+1={r_1}^2$
Если $x+0.5={a_2}^2$, то $x^2+3/4={a_2}^4-{a_2}^2+1={r_2}^2$
где $a_i,r_i$ рациональные числа.
Оба уравнения приводятся к двум уравнениям в целых числах $u^2=p^4\pm{p^2q^2}+q^4$,$\gcd(p,q)=1$
Решения их хорошо известны.
Решения уравнения с плюсом: $p^2=1,q=0;q^2=1,p=0$. Решения уравнения с минусом: $p^2=1,q=0;q^2=1,p=0$ и $q^2=p^2=1$.
Т.е. искомые точки только вершины треугольника.

Если потребовать, чтобы $\sqrt{x^2+3/4}$ было квадратом, то $x^2+3/4=y^4\qquad(1)$ и существует
бесконечно много таких точек на сторонах треугольника с рациональными расстояниями до вершин.
Это следует из того, что ранг кривой $(1)$ равен 1.

[gris]

Да, я упустил слова "на одной прямой с точкой".
Но всё же сумел (?) хоть что-то сказать разумное и разобрался в решении, кое-чему поверив на слово. И этим уже доволен
Задача интересная, и думаю, что не только я один получил большое удовольствие и пользу.

[scwec]

scwec в сообщении #907724 писал(а):

Если потребовать, чтобы $\sqrt{x^2+3/4}$ было квадратом, то $x^2+3/4=y^4\qquad(1)$ и существует бесконечно много таких точек на сторонах треугольника с рациональными расстояниями до вершин.

Вот пример такой точки.
$P$ лежит на продолжении стороны $BA$ треугольника $ABC$.
Расстояния от $P$ до вершин:
$L_A=\dfrac{3055}{1089},L_B=\dfrac{3055}{1089}+1,L_C=\dfrac{3721}{1089}={\left(\dfrac{61}{33}\right)}^2$