Я это писал, когда не было добавки.
Поместим треугольник в систему координат, совместив произвольную сторону с осью абсцисс, а середину этой стороны с началом координат. Вершины треугольника будут иметь координаты

. Возьмём произвольную точку на оси абсцисс, то есть на выбранной стороне треугольника или на её продолжении, с координатами

.
Расстояния от выбранной точки до каждой из вершин будут равны

. Поскольку число

и первые два расстояния одновременно либо рациональны, либо иррациональны, то для одновременной рациональности трёх расстояний необходима и достаточна одновременная рациональность

и

. Из соображений симметричности треугольника решение будет годиться для любой стороны. Можно также учесть симметрию задачи для выбранной стороны относительно начала координат.
Таким образом, любое положительное рациональное значение

, при котором

рационально, даст 6 решений задачи, исключая случай

, который даёт ровно три решения из-за совпадения точек на разных сторонах. Значение

решением не является.
Добавление, конечно, немного усложняет конструкцию. Но можно по-прежнему ограничиться рассмотрением положительных рациональных

, для которых одно из чисел

будет квадратом рационального числа. Уже как-то тоскливо

Может быть удобнее рассмотреть другую систему координат или вообще другой подход

Так как три вершины треугольника удовлетворяют и новому условию, то надо доказать то, что других решений нет. А получается, что всё равно одно такое решение порождает ещё пять. То есть число решений может (но не обязано) быть только

штук. Уже полегчало
