Что такое риманова поверхность?

[vasil1vasil]

Я читаю книгу В. Б. Алексеева Теорема Абеля в задачах и решениях. Книга рассчитана на широкий круг читателей, и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Но при чтении параграфа риманова поверхность функции $w= \sqrt{z}$ у меня возникли трудности. Мне не удается понять как здесь двузначная функция превращается в однозначную?

[Xaositect]

А в каком месте начинается непонимание?

Сначала мы берем двузначную функцию $\sqrt{z}$ и говорим, что ее можно разделить на две однозначных функции $\phantom{}_1\sqrt{z}$ и $\phantom{}_2\sqrt{z}$ - значение справа и слева от мнимой оси соответственно. Полученные функции получаются разрывными, у них разрыв на луче отрицательных действительных чисел. Но оказывается, если при переходе через этот луч менять одну функцию на другую, то получится непрерывный переход. То есть, если мы возьмем две копии комплексной плоскости, рассмотрим на них две однозначные ветви корня $\phantom{}_1\sqrt{z}$ и $\phantom{}_2\sqrt{z}$, и склеим верхнюю часть левой полуплоскости на первой плоскости с нижней частью на другой и наоборот (рис. 27 в книге), то мы получим некоторую поверхность, на которой будет задана однозначная функция, которая будет непрерывна. Каждому комплексному числу соответствует две точки на римановой поверхности, в одной точке будет одно значение корня, в другой-другое.

Вкратце - сначала разделяем многозначную функцию на несколько однозначных функций на нескольких комплексных плоскостях, потом склеиваем эти плоскости в одну поверхность так, чтобы при склейке получилась непрерывная функция.

[Munin]

Может быть, уже неактуально, но всё равно пошлю...

Вот представьте себе, что вы рассматриваете очень простую штуку: координатную плоскость действительных чисел $(x,y).$ И представьте себе, что вы на этой плоскости нарисовали линию, скажем, окружность $x^2+y^2=r^2.$ Считать ли её функцией? Строго говоря, нельзя. Но можно считать, что это двузначная функция, такая что $x=\pm\sqrt{r^2-y^2}.$ Теперь, приглядимся к верхней половине окружности. Можно считать, что эта верхняя половина - однозначная функция $x=+\sqrt{r^2-y^2}.$

С римановыми поверхностями всё совершенно аналогично, только нельзя представить себе так наглядно: вместо функции 1-мерного пространства в 1-мерное пространство, которая изображается графиком на 2-мерной плоскости (сам график - 1-мерная линия), мы имеем функцию 2-мерного пространства в 2-мерное пространство, которая изображается графиком на 4-мерной плоскости. Но сам этот график - 2-мерный, и понять его устройство можно, просто представляя себе схематически 2-мерную поверхность, скажем, в нашем обычном 3-мерном пространсве.

[vasil1vasil]

Когда функция разделяется на две однозначные то почему получается разрыв только на луче отрицательных действительных чисел, а не на луче отрицательных и положительных действительных чисел?

[Munin]

Где хотите, там и проведите разрез (а не разрыв). То, что его условно проводят по отрицательной действительной полуоси - договорённость для однообразия. Могли бы и по-другому договориться.

Важно другое: рис. 27 не отображает всей правды. Он трёхмерный, а вся правда - четырёхмерная.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #907456 писал(а):

Он трёхмерный, а вся правда - четырёхмерная.

Он двумерный и отображает двумерную область определения функции,

[Munin]

вздымщик Цыпа в сообщении #907468 писал(а):

Он двумерный

Ну да, потому что нарисован типографской краской по бумаге.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #907479 писал(а):

Ну да, потому что нарисован типографской краской по бумаге.

Нет. Это два плоских листа, просто склеенных не очень обычным образом, не более. Скажем, если Вы сфоткаете цилиндр, даже стереоскопическим способом с объемной картинкой, то он от этого не перестанет быть двумерной поверхностью.

[Munin]

вздымщик Цыпа в сообщении #907480 писал(а):

Это два плоских листа

Риманова поверхность - это два листа (не плоских, кстати). Но рисунок - не есть два листа. Он несёт больше информации, например, об их взаимном расположении.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #907515 писал(а):

Риманова поверхность - это два листа (не плоских, кстати).

Вообще говоря, риманова поверхность — это сколько надо листов и все они настолько же плоские, как и ${\mathbb C}$

Munin в сообщении #907515 писал(а):

Но рисунок - не есть два листа. Он несёт больше информации, например, об их взаимном расположении.

Никакого взаимного расположения у листов нет. Данный конкретный рисунок 27 несет инфомацию о единственной точке — o нуле.

[Vince Diesel]

vasil1vasil в сообщении #907454 писал(а):

Когда функция разделяется на две однозначные то почему получается разрыв только на луче отрицательных действительных чисел, а не на луче отрицательных и положительных действительных чисел?

Представьте, что у вас есть винтовая лестница. В данном случае идущая на 2 этажа, по витку на этаж. Тогда над одним и тем же местом будет по 2 ступеньки. На них можно нарисовать два разных числа и будет двузначная функция. Также эта лестница обладает свойством, что если дойти до верха второго витка, оказываешься в начале первого. Теперь если мы хотим однозначную функцию на полу (в проекции), надо вырезать из лестницы кусок высотой один этаж. Вырезать можно начиная с любой точки. Соответственно, на плоскости линия разреза может оказаться в любом месте. Если следить за движением точки на лестнице по ее проекции, то, сделав круг начиная от разреза, при дальнейшем движении (при переходе через разрез) значения функции поменяются, поскольку лестница пошла на второй виток.

[Munin]

вздымщик Цыпа
В ваши цели очевидно не входит объяснить что-то спрашивающему. Разговор окончен.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #907571 писал(а):

В ваши цели очевидно не входит объяснить что-то спрашивающему.

Воспрепятствовать введению в заблуждение спрашивающего — это тоже полезное дело.

Munin в сообщении #907571 писал(а):

Разговор окончен.

Не смею Вас принуждать к продолжению.

[Munin]

вздымщик Цыпа в сообщении #907676 писал(а):

Воспрепятствовать введению в заблуждение спрашивающего — это тоже полезное дело.

Это я со своей стороны считаю выполненным.