Нахождение производной обобщенной функции

[Fabif]

Здравствуйте! Мне задали найти

$$(1(\sin t))''$$

- вторую производную от обобщенной функции.
$1(\sin t)=\left\{ \begin{array}{l} 1, если t \in (2\pi n,2\pi n + \pi)\\ 0, если t \in (2\pi n - \pi,2\pi n), \end{array}\right.$
Я решаю так:
п1 f'\varphi=-f\varphi ' = - \int\limits_{-\infty}^{+\infty}1(\sin t)\varphi ' (t) dt=-\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} (\int\limits_{2\pi n}^{2\pi n+\pi}\varphi ' (t) dt + 0) =$ $ =-\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} (\varphi (2\pi n + \pi) - \varphi (2\pi n))$
, далее так как значение $\varphi$в точке получается лишь воздействием$\delta$-функции, имеею$\delta$-функцию.
Далее, как я понимаю, следует применить формулу$1(\sin t)'' = - \int\limits_{-\infty}^{+\infty}1(\sin t)'\varphi ' (t) dt$, подставляя туда найденную п.1$1(\sin t)'. Я всегда так и делал когда в первой производной в других задачах появлялась или функция от t или число.
Народ, как быть если в п.1 получается $\delta$-функция?

[Brukvalub]

Я думаю, что нужно воспользоваться правилом:

\[ \frac{{d^2 T}}{{dx^2 }}(\varphi ) = T(\varphi '')\]

, где Т - обобщенная функция; при этом
ответ стоит оставить в виде суммы значений производных от основной функции, ни к чему более красивому его не привести.

[Fabif]

Спасибо!
Делаю так:
f ''\varphi=f\varphi '' =\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(1(\sin t))\varphi '' (t) dt=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} (\int\limits_{2\pi n}^{2\pi n+\pi}\varphi '' (t) dt + 0) =

$$= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} (1\cdot\varphi '(t))\limits_{2\pi n}^{2\pi n+\pi}$$

(*)
Преподаватель дальше сказал надо применить формулу обратного дифференцирования. Как я понимаю, это значит что надо (*) привести к $\sum\int P\cdot\varphi (t) dt$, где P имеет производную 1. Я не достаточно понимаю, что он имел ввиду. Подскажите, как делать дальше?

[Brukvalub]

Fabif писал(а):

Я не достаточно понимаю, что он имел ввиду. Подскажите, как делать дальше?

Я не знаю такого термина, как "формула обратного дифференцирования" , но, наверное, он хочет, чтобы Вы перекинули знак производной на пробную функцию.

[Fabif]

Именно так! Я его, кстати, решил!