2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Нахождение производной обобщенной функции
Сообщение04.12.2007, 19:01 
Здравствуйте! Мне задали найти $$(1(\sin t))''$$ - вторую производную от обобщенной функции.
$1(\sin t)=\left\{ \begin{array}{l} 
1, если t \in (2\pi n,2\pi n + \pi)\\ 
0, если t \in (2\pi n - \pi,2\pi n), 
\end{array}\right.$
Я решаю так:
п1  f'\varphi=-f\varphi ' = - \int\limits_{-\infty}^{+\infty}1(\sin t)\varphi ' (t) dt=-\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} (\int\limits_{2\pi n}^{2\pi n+\pi}\varphi ' (t) dt + 0) =$ $ =-\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} (\varphi (2\pi n + \pi) - \varphi (2\pi n))$
, далее так как значение $\varphi$в точке получается лишь воздействием$\delta$-функции, имеею$\delta$-функцию.
Далее, как я понимаю, следует применить формулу$1(\sin t)'' = - \int\limits_{-\infty}^{+\infty}1(\sin t)'\varphi ' (t) dt$, подставляя туда найденную п.1$1(\sin t)'. Я всегда так и делал когда в первой производной в других задачах появлялась или функция от t или число.
Народ, как быть если в п.1 получается $\delta$-функция?

 
 
 
 
Сообщение04.12.2007, 20:22 
Аватара пользователя
Я думаю, что нужно воспользоваться правилом: \[
\frac{{d^2 T}}{{dx^2 }}(\varphi ) = T(\varphi '')\], где Т - обобщенная функция; при этом
ответ стоит оставить в виде суммы значений производных от основной функции, ни к чему более красивому его не привести.

 
 
 
 
Сообщение12.12.2007, 17:05 
Спасибо!
Делаю так:
f ''\varphi=f\varphi '' =\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(1(\sin t))\varphi '' (t) dt=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} (\int\limits_{2\pi n}^{2\pi n+\pi}\varphi '' (t) dt + 0) =
$$= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} (1\cdot\varphi '(t))\limits_{2\pi n}^{2\pi n+\pi}$$ (*)
Преподаватель дальше сказал надо применить формулу обратного дифференцирования. Как я понимаю, это значит что надо (*) привести к $\sum\int P\cdot\varphi (t) dt$, где P имеет производную 1. Я не достаточно понимаю, что он имел ввиду. Подскажите, как делать дальше?

 
 
 
 
Сообщение12.12.2007, 18:05 
Аватара пользователя
Fabif писал(а):
Я не достаточно понимаю, что он имел ввиду. Подскажите, как делать дальше?
Я не знаю такого термина, как "формула обратного дифференцирования" , но, наверное, он хочет, чтобы Вы перекинули знак производной на пробную функцию.

 
 
 
 
Сообщение12.12.2007, 19:10 
Именно так! Я его, кстати, решил!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group