naanov Тривиальное тождество в доказательстве ВТФ

[shwedka]

naanov в сообщении #906071 писал(а):

Я не пользуюсь утверждением об истинности уравнения (2). Я пользуюсь утверждением об истинности уравнения (1). Уравнение (1) отличается от уравнения (2).

Вы уже несколько раз привели здесь никем не оспариваемое доказательство эквивалентности 2 и1.

naanov в сообщении #906071 писал(а):

Не кажется ли Вам, что исключение условия истинности уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
исключает предмет обсуждения из предмета утверждения ВТФ?
Весь Ваш последний пост является иллюстрацией того, к чему приводит исключение уравнения (1) из попыток доказать равносильность уравнения (2) и системы уравнений (3) и (4).

Давайте все же зафиксируем, что
без

Цитата:

условия истинности уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)

доказать равносильность уравнения (2) и системы уравнений (3) и (4)
невозможно, более того,они не равносильны.

эта неравносильность демонстрируется моим примером.

Повторяю, без условия истинности 1.


Я хотела бы это обстоятельство зафиксировать.
Если вы возражаете,то прошу аргументировать.Однако,при этой аргументации Вы не можете ссылаться на 1, поскольку,повторяю,
условие истинности уравнения (1) сейчас не накладывается.

Ваша аргументация в

naanov в сообщении #906088 писал(а):

а) Система (3) и (4) всегда имеет решение $j=2$.
б) При подстановке $j=2$ в уравнение (1) получаем
$x^2 + y^2 = z^2$, (7)
откуда
$z=(x^2+y^2)^{\frac 1 2}$. (8)
в) При подстановке в (4) получаем
$x+y-z=s_1$. (9)
После возведения в квадрат левой и правой частей этого равенства, приведения подобных и их перенесения в левую часть получим:
$x^2+y^2-z^2+s_1^2-2s_1(x+y)+2xy=0$. (10)
Убедимся, что (10) не противоречит (7), для чего, полагая $s_1$ неизвестной величиной, найдем её из уравнения
$s_1^2-2s_1(x+y)+2xy=0$. (11)

не действительна,, поскольку Вы подменили уравнение 10 уравнением 11.
При преобразовании 10 в 11, вы не имеете права пользоваться уравнением 1,
поскольку,повторяю,

условие истинности уравнения (1) сейчас не накладывается.

После фиксации этого отсутствия равносильности,перейдем к анализу Вашего 'доказательства ВТФ'.

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Ваше предложение о фиксации ряда обсуждаемых утверждений бесспорно.
Согласен.
Удобна ли такая форма?

1. Пусть определена система условий:
$ \begin {cases} x^j + y^j = z^j \\ j>1, j \in \mathbb {N} \\ x=\operatorname{const}, x \in \mathbb {N} \\ y=\operatorname{const}, y \in \mathbb {N} \\ z=\operatorname{const}, z \in \mathbb {N} \\ x<y<z \end {cases}$
где $N$ – множество натуральных чисел;
тогда уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$, (2)
и система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$, (4)
попарно эквивалентны.

Целесообразно также подчеркнуть следующее.
2. Если при условиях
$ \begin {cases} j>1, j \in \mathbb {N} \\ x=\operatorname{const}, x \in \mathbb {N} \\ y=\operatorname{const}, y \in \mathbb {N} \\ z=\operatorname{const}, z \in \mathbb {N} \\ x<y<z \end {cases}$,
где $N$ – множество натуральных чисел,
$x^j + y^j \not= z^j$,
то уравнение
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$, (2)
и система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$, (4)
не эквивалентны.
Спасибо

[shwedka]

Никуда не годится.
Слова определена система условий
не имеют математического или иного смысла!
Вот я напишу какое-то условие. Будет оно тогда определено ли нет?

Условие может выполняться, не выполняться, предполагаться выполненым или не выполненым-- у этих слов есть вполне определенный смысл. А у ВАс - никакого.
При бессмысленности формулировки, Вы никогда и не докажете.

Далее, не нужно нам и Вам все возможные j. Одно единственное нужно, именно двойка.
В Вашей версии не отличить, выпол
нены или нарушаются условия для ВСЕХ j, или для какого-то одного.

И, наконец, подлог произошел на месте.

naanov в сообщении #906286 писал(а):

$x^j + y^j \not= z^j$,

Не так Вам объяснялось.
Не неравенство предполагается, а отсутствие предположения о равенстве.
Ощущаете разницу?
Неравенство - провозглашение того, что левая часть не равна правой. Отсутствие предположения о равенстве означает, как Вы и я писали выше много раз, именно, отсутствие. Не знаем мы, равно или нет, ничего не предполагаем.

Поэтому следует зафиксировать дискуссию в точном соответствии с ее содержанием.
1. В предположении истинности 1 при j=2, уравнение 2 и система (3,4) равносильны.
2. Если не предполагать истинности 1 при j=2, уравнение 2 и система (3,4) не равносильны.
Коротко и ясно

[vasili]

Уважаемый naanov!
Если равносильные уравнений есть уравнения, имеющие одно и тоже множество корней (необходимое условие), то какие критерии эквивалентности (равнозначности, равноценности) существуют, по Вашему мнению, для равенства и уравнения, равенства и равенства?
Ведь Вы рассматриваете эквивалентность равенства $X^3+Y^3-Z^3 = 0$ и равенства

$(X^ j +Y^ j-Z^ j)(X + Y-Z)$. Каков здесь критерий эквивалентности?

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Моя форма фиксации ряда обсуждаемых утверждений Вас не устраивает!
В этой связи предлагаю следующее.
1. Корректирую:
Пусть:
$ \begin {cases} x^j + y^j = z^j \\ j>1, j \in \mathbb {N} \\ x=\operatorname{const}, x \in \mathbb {N} \\ y=\operatorname{const}, y \in \mathbb {N} \\ z=\operatorname{const}, z \in \mathbb {N} \\ x<y<z \end {cases}$
где $N$ – множество натуральных чисел;
тогда уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$, (2)
и система уравнений
$ \begin {cases} z=x+y-s_1 (3) \\ z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}, (4) \end {cases}$
попарно эквивалентны.
2. Позицию 2 (с неравенством $x^j + y^j \not= z^j$) исключаю.
3. Прошу, покажите, пожалуйста, как математически осмысленно выписать для $f_1=x^j + y^j$ и $f_2=z^j$ соотношения, кроме $x^j + y^j = z^j$, выражающие:

shwedka в сообщении #906487 писал(а):

может выполняться, не выполняться, предполагаться выполненым или не выполненым

4. Будьте любезны, выпишите в явном, математически осмысленном, виде утверждения:

shwedka в сообщении #906487 писал(а):

1. В предположении истинности 1 при j=2, уравнение 2 и система (3,4) равносильны.
2. Если не предполагать истинности 1 при j=2, уравнение 2 и система (3,4) не равносильны.

Спасибо

[shwedka]

naanov в сообщении #906729 писал(а):

Пусть:
$ \begin {cases} x^j + y^j = z^j \\ j>1, j \in \mathbb {N} \\ x=\operatorname{const}, x \in \mathbb {N} \\ y=\operatorname{const}, y \in \mathbb {N} \\ z=\operatorname{const}, z \in \mathbb {N} \\ x<y<z \end {cases}$

И как это понимать?
Выполнено для всех j, для некоторых j, для какого-то j?

Нас интересует, в соответствии с правiлами, только случай$ j=2$

-- Чт сен 11, 2014 17:26:59 --

naanov в сообщении #906729 писал(а):

2. Позицию 2 (с неравенством $x^j + y^j \not= z^j$) исключаю.

A зря! Именно в ней все дело.
Какое у ВАс конкретное возражение против

shwedka в сообщении #906487 писал(а):

2. при j=2, без предположения истинности 1, уравнение 2 и система (3,4) не равносильны.

Могу даже более спокойную формулировку дать,

2. при j=2, без предположения истинности 1, naanov
не располагает доказательством равносильности уравнения 2 и системы (3,4).
Вашим возражением к такой формулировке, может быть только доказательство.

naanov в сообщении #906729 писал(а):

3. Прошу, покажите, пожалуйста, как математически осмысленно выписать для $f_1=x^j + y^j$ и $f_2=z^j$ соотношения, кроме $x^j + y^j = z^j$, выражающие:

Математически впоне корректно будет сопровождать эту формулу подходящими словами, так, чтобы придать нужный смысл..

[naanov]

Уважаемый vasili!
Вы спрашиваете:

vasili в сообщении #906539 писал(а):

какие критерии эквивалентности (равнозначности, равноценности) существуют, по Вашему мнению, для равенства и уравнения, равенства и равенства?

Уравнение - равенство пары функций, для равных значений которых ищется их общее решение. Однако в контексте обсуждаемой Темы, когда стали возникать разночтения в символьной записи соотношений, имеющихся в тексте доказательства, например:
$x^3+y^3=z^3$ (или в Вашей системе обозначений $X^3+Y^3=Z^3$) - уравнение с аргументами $x, y, z$,
$x^3+y^3=z^3$; -
числовое равенство с постоянными $x, y, z$; - оказалось удобно различать и подчёркивать: равенство числовое и уравнение. Иногда, когда ясно, о чём идет речь, пишется коротко: равенство и уравнение.
Когда же Вы ставите вопрос об эквивалентности объектов: равенств и уравнений; - "упрощенчество" не допустимо.
Если Вы говорите о числовых равенствах и уравнениях, то понятие эквивалентности, по моему мнению, к этим объектам не применимо, за исключением случаев, когда числовое равенстно в решении какой-либо задачи называется уравнением вырожденным, или когда после подстановки корней в уравнение, обращающей это уравнение в тождество, последнее "по инерции" называют уравнением, имеющим значение. Все истинные равенства эквивалентны. Иногда, правда, не очевидно преобразование одного равенства в другое.

vasili в сообщении #906539 писал(а):

Вы рассматриваете эквивалентность равенства
$X^3+Y^3-Z^3=0$
и равенства
$(X^j+Y^j-Z^j)(X+Y-Z)$.

Если я такое написал, то это какая-то глупость! Обязательно исправлю. Укажите ссылку на пост.
Спасибо

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Если отрезать половину текста утверждения вот так:

shwedka в сообщении #906743 писал(а):

naanov в сообщении #906729 писал(а):

Пусть:
$ \begin {cases} x^j + y^j = z^j \\ j>1, j \in \mathbb {N} \\ x=\operatorname{const}, x \in \mathbb {N} \\ y=\operatorname{const}, y \in \mathbb {N} \\ z=\operatorname{const}, z \in \mathbb {N} \\ x<y<z \end {cases}$

и затем спрашивать:

shwedka в сообщении #906743 писал(а):

И как это понимать?

то это следует понимать, как некорректное обращение с исходным текстом, которое влечёт некорректные и претенциозные вопросы. В "отрезанной" части утверждения соотношение $x^j + y^j = z^j$ называется уравнением, в котором функции, связанные этим уравнением, по условию имеют область определения $j>1, j \in \mathbb {N}$.
На Ваше предложение:

shwedka в сообщении #906487 писал(а):

... следует зафиксировать дискуссию в точном соответствии с ее содержанием.
1. В предположении истинности 1 при j=2, уравнение 2 и система (3,4) равносильны.
2. Если не предполагать истинности 1 при j=2, уравнение 2 и система (3,4) не равносильны.

я обратился к Вам, как к специалисту, с просьбой:

naanov в сообщении #906729 писал(а):

Будьте любезны, выпишите в явном, математически осмысленном, виде утверждения

shwedka в сообщении #906487 писал(а):

1. В предположении истинности 1 при j=2, уравнение 2 и система (3,4) равносильны.
2. Если не предполагать истинности 1 при j=2, уравнение 2 и система (3,4) не равносильны.

По-моему, я имею право на такую просьбу, поскольку мои формулировки условий утверждений, на Ваш взгляд, слабоваты или, как Вы говорите:

shwedka в сообщении #906487 писал(а):

не имеют математического или иного смысла!

или содержат подлог:

shwedka в сообщении #906487 писал(а):

И, наконец, подлог произошел на месте

naanov в сообщении #906286 писал(а):

$x^j+y^j \not=z^j$

Исхожу из того, что, если Вы знаете, как нельзя, то и знаете, как нужно. Меня не может удовлетворить Ваш ответ:

shwedka в сообщении #906743 писал(а):

Могу даже более спокойную формулировку дать,
2. при j=2, без предположения истинности 1, naanov
не располагает доказательством равносильности уравнения 2 и системы (3,4).

Как выразить, Вашими словами, математически строго (в соответствующих математических символах) условие "без предположения истинности 1". Это очень важно для последующего обсуждения, поскольку Вы придаёте этому условию, на протяжении ряда постов, особое значение. К тому же, хотелось понять, почему при фиксированном аргументе $j=2$ в Ваших утверждениях фигурируют "уравнения", а не числовые равенства? Почему нас должен интересовать "только случай $j=2$"?
Поэтому, ешё раз прошу: уважаемая shwedka, выпишите, пожалуйста, математически строго Ваши утверждения:

shwedka в сообщении #906487 писал(а):

1. В предположении истинности 1 при j=2, уравнение 2 и система (3,4) равносильны.
2. Если не предполагать истинности 1 при j=2, уравнение 2 и система (3,4) не равносильны.

Спасибо

[shwedka]

naanov в сообщении #906837 писал(а):

Как выразить, Вашими словами, математически строго (в соответствующих математических символах) условие "без предположения истинности 1".

Опять, математические символы дополняются словами, осуществляющими связь между символами и придающими модальность мтематическим высказываниям.
Вы пишете бессмысленные слова.

naanov в сообщении #906837 писал(а):

почему при фиксированном аргументе $j=2$

Потому, что только это значение используется при Вашем 'доказательстве' ВТФ для степени 3. Если используются другие значения, процитируйте.

naanov в сообщении #906837 писал(а):

Как выразить, Вашими словами, математически строго (в соответствующих математических символах) условие "без предположения истинности 1".

Это и означает, что услвие выполнения 1 при j=2 отсутствует.

naanov в сообщении #906837 писал(а):

shwedka в сообщении #906743
писал(а):
Могу даже более спокойную формулировку дать,
2. при j=2, без предположения истинности 1, naanov
не располагает доказательством равносильности уравнения 2 и системы (3,4).

Могу дать еще более спокойную формулировку.

2. при j=2, naanov
не располагает доказательством равносильности уравнения 2 и системы (3,4). Все рассуждения, которые он проводит, содержат дополнительное предположение о выполнении равенства 1 при j=2

Это не математическое утверждение. Это констатация факта непредъявления доказательства.

На этом остановимся. Вы либо соглашаетесь с этой формулировкой, либо предъявляется доказательство, которое от Вас многократно требовалось.

Теперь я процитирую версию Вашего 'доказательства', которую мне удалось найти.

naanov в сообщении #902381 писал(а):

Утверждение.
Уравнение
$x^n + y^n = z^n$, (1)
где $n=3$ и $x<y<z$ – все натуральные,
не имеет решений.

1. Пусть $(x, y, z)$ – произвольная тройка такая, что
$x + y > z$. (2)
2. Допустим для (1) при $n=3$ и данной тройки $(x, y, z)$ справедливо
$x^3 + y^3 = z^3$. (3)
3. Тогда для данной тройки $(x, y, z)$ по Определению 1 существует целочисленная система $(x, y, s_1)^i$ с основанием $s_1$:
$(x, y, s_1)^i = \{(x^i - s_1^i) + 2s_1^i + (y^i - s_1^i)\}$, (4)
где $s_1 = x + y - z$, (5)
$i \leqslant n$ – натуральное.
4. Тогда всегда выполняется:
$(x^2 + y^2 - z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (6)
где $z = x + y - s_1$ – число частных сумм $2$–го уровня системы $(x, y, s_1)^i$ по Следствию 3, (7)
$z^2 = x^2 + y^2 - s_2$ – число частных сумм, следующее из $z^3 = z^2z$, по Определению 2, и по Следствию 3 для $3$–го уровня системы $(x, y, s_1)^i$ ; – (8)
что проверяется непосредственно, и откуда следует эквивалентность равенств (6) и (3).
5. Сумма степеней $1$ и $2$ частных сумм в соотношении (6), как следует из его непосредственной проверки, $1 + 2 = 3$, или в общем определяется в виде:
$1 + (n-1) = n$, –
где $n=3$, согласно допущению (3), и равняется номеру $i=3$ уровня системы $(x, y, s_1)^i$ по п.3.
6. Введем новую целочисленную переменную $j$, $1 < j \leqslant n$, не превышающую значения $n=3$ степени уравнения (1) по допущению (3), и равную номеру $i=3$ уровня системы $(x, y, s_1)^i$, указанному в п.5.
7. Тогда, принимая $j$ в качестве степени уравнения $x^j + y^j = z^j$, при данных по п.1 и п.3 $x$, $y$ и $z = x + y - s_1$, выпишем соответствующую соотношению (6) систему уравнений относительно $j$:
$z = x + y - s_1$, (9)
$z^{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1} - s_{j-1}$, – (10)
в которой величины $x$, $y$, $s_1$ зафиксированы, $j$ – переменная и $s_{j-1}$ – переменная, зависящая от $j$, и что справедливо для всех допустимых $j$, так как суммы старших степеней в (9) и (10) дают $1 + (j-1) = j \leqslant n$.
8. Система уравнений (9) и (10) является всегда совместной при $j=2$ и при $s_{j-1} = s_{2-1} = s_1$.
9. Таким образом, допущение (3) существования решения уравнения (1) при $n=3$ для тройки $(x, y, z)$ всегда приводит к существованию, по крайней мере, второго решения уравнения (1) при $n=j=2$ для той же тройки $(x, y, z)$.
10. Существование различных относительно $n$ решений уравнения (1) для одной и той же тройки $(x, y, z)$ противоречит известному утверждению о единственности решения уравнения (1).
11. Приведение допущения п.3 (3) к противоречию доказывает справедливость основного утверждения.
12. Ч. и т.д.

Мы будем обсуждать этот текст, или Вы хотите что-то изменить?

-- Чт сен 11, 2014 22:19:09 --

naanov в сообщении #906729 писал(а):

Пусть:
$ \begin {cases}
x^j + y^j = z^j \\
j>1, j \in \mathbb {N} \\
x=\operatorname{const}, x \in \mathbb {N} \\
y=\operatorname{const}, y \in \mathbb {N} \\
z=\operatorname{const}, z \in \mathbb {N} \\
x<y<z
\end {cases}$
где $N$ – множество натуральных чисел;

Нет, такое 'пусть' недопустимо.
Если это -'уравнение', то содержания в этом тексте столько же, сколько в высказывании
пусть 237.
или пусть имеется уравнение x+y+z=55.

Когда в математическом тексте пишется 'пусть', за этим должно следовать содержательное условие. Иначе смысла нет. От того, что Вы уравнение написали, математического содержания не добавится. 'тогда' наступает не потому, что Вы это уравнение написали, а потому, что какие-то его свойства предполагаются.

В Вашем случае, исправлять можно по-разному, например

Пусть, при j=2 выполнеnо $x^j + y^j = z^j $
или
Пусть при j=56, не выполнено $x^j + y^j = z^j $

или
Пусть при всех j , не выполнено $x^j + y^j = z^j $

или пусть при j>45, выполнено $x^j + y^j = z^j $

Но условие
пусь написаны уравнения, тогда....
недопустимо.
Следствие наступает не потому, что Вы написали уравнения, а из какого-то утверждения о его решениях или разрешимости. Утверждение может быть истинным или нет, но все равно оно должно быть.

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Если Ваш вопрос:

shwedka в сообщении #906850 писал(а):

Мы будем обсуждать этот текст, или Вы хотите что-то изменить?

содержит предложение, то позвольте, учитывая проведённое обсуждение, дать изменённый текст.

Уравнение
$x^n + y^n = z^n$, (0)
где $x<y<z$ и $n$ – все натуральные,
не имеет решений при $n=3$.

1. Пусть при $j >1$, $j$ – натуральное, уравнение
$x^j + y^j = z^j$
имеет решение.
2. Зафиксируем значения $x, y$ и $z$, при которых уравнение (1) имеет решение, и, рассматривая $j$, как переменную, найдём её значение, удовлетворяющее решению (1).
3. Уравнение (1), имеющее решение $j$, равносильно системе уравнений:
$x+y-z=s_1$, (3)
$x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1}=s_{j-1}$, - (4)
в которой значения $x, y$ и $z$ зафиксированы, $j$ – искомая переменная, $s_1$, $s_{j-1}$ – обозначения значений соответствующих сумм.
4. Система уравнений (3) и (4) является всегда совместной при $j=2$, чем, в силу равносильности системы (3) и (4) и уравнения (1), определяется искомое решение уравнения (1):
$j=2$.
5. Тогда по известному утверждению о единственности решения уравнения (1) для данных $x, y$ и $z$ найденное решение $j=2$ является единственным.
6. Следовательно, любое допущение для данных $x, y$ и $z$ о существовании отличного от $j=2$ решения уравнения (1), включая $j = n = 3$, ошибочно.
7. Следовательно, и уравнение (0) не может иметь решений при $n=3$, и основное утверждение справедливо.
8. Ч. и т. д.

С уважением

[nnosipov]

naanov в сообщении #907173 писал(а):

3. Уравнение (1), имеющее решение $j$, равносильно системе уравнений:
$x+y-z=s_1$, (3)
$x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1}=s_{j-1}$, - (4)
в которой значения $x, y$ и $z$ зафиксированы, $j$ – искомая переменная, $s_1$, $s_{j-1}$ – обозначения значений соответствующих сумм.

Поскольку правые части (3) и (4) суть лишь обозначения левых, мы имеем дело с системой уравнений, тождественно выполняющихся при любых допустимых значениях переменной $j$. О какой равносильности с уравнением (1) может идти речь, если последнее выполняется самое большее при одном значении $j$?

Семь страниц теме, а ТС по-прежнему не понимает, что такое равносильные системы уравнений. Не пора ли в "Пургаторий"? Ведь новых идей или какого бы то ни было продвижения не наблюдается.

[shwedka]

naanov в сообщении #907173 писал(а):

Уравнение
$x^n + y^n = z^n$, (0)
где $x<y<z$ и $n$ – все натуральные,
не имеет решений при $n=3$.

1. Пусть при $j >1$, $j$ – натуральное, уравнение...

Пропущен текст
Утверждение:
Уравнение
$x^n + y^n = z^n$, (0)
где $x<y<z$ и $n$ – все натуральные,
не имеет решений при $n=3$.
Доказательство.

0. Допустим противное, существуют натуральные $x,y,z$,такие, что
$x^3 + y^3 = z^3$ (03)

1. Пусть при $j >1$, $j$ – натуральное, уравнение..

ЕСли не вставить пункт 0, не сделать это предположение,
то не с чем потом получать противоречие.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: полная бесперспективность обсуждения, отсутствие хоть какого-нибудь содержания, непонимание тривиальных вещей, отсутствие ответов на тривиальные вопросы

naanov, предупреждение за невежество