смешанная задача

[tetricka12]

$ u_t - u_{xx} - u =xt(2-t) +2\cos t$
$0<x<\pi$
$u_x|_{x=0} =u_x|_{x=\pi} =t^2$
$u|_{t=0} = \cos 2x$

хотелось бы узнать как решается такой тип задач.
Насколько я понимаю нужно сделать замену чтобы избавиться от $u$ . но я не слишком понимаю как это сделать

[ewert]

tetricka12 в сообщении #906473 писал(а):

Насколько я понимаю нужно сделать замену чтобы избавиться от $u$

Это очень трудно. Очень трудно решать задачу, избавившись от неё.

Но вот что можно (и нужно) -- так это сделать граничные условия однородными.

[Red_Herring]

Найдите функцию $u^*$ удовлетворяющую только краевым условиям (их много, возьмите ту, к которой у Вас любовь с первого взгляда) и тогда $u=u^*+v$

[tetricka12]

я нашел такую функцию, например пусть будет
$\frac{t^2 \sin 2x}{2} $
и как я понимаю
будет что то типа:

для v

$v_t - v_{xx} - v = xt(2-t) + 2\cos t$
$v_x|_{x=0}=v_x|_{x=\pi} = 0$
$v|_{t=0} = 0$

и для u*

$u^*_t - u^*_{xx} - u^* =0$
$u^*_x|_{x=0}=u^*_x|_{x=\pi} = t^2$
$u^*|_{t=0} = \cos 2x$

[Red_Herring]

tetricka12 в сообщении #906668 писал(а):

и для u*

Вы уже определили $u^*$. Какие правая часть и начальные условия будут для $u^*$? Что остается на долю $v$? Думайте, а не пишите первое, что в голову придет! А то на память приходят последние строчки из К.Чуковского "Телефон".

[tetricka12]

ну раз я определил $u^* $, то подставляя вместо t , 0 , то получим что начальные условия будут равны 0.
а на долю v наверное будет
$v_t -v_{xx}-v =xt(2-t) +2\cos t $
$v_x|_{x=0} = v_x|_{x=\pi} =0$
$v|_{t=0} = \cos 2x$

и тогда встает вопрос что взять в качестве $X(x)$
$V = T(t)X(x) $

[Red_Herring]

Ну теперь разлагайте по собственным функциям (какие следует взять?)

[ewert]

(Оффтоп)

tetricka12 в сообщении #906692 писал(а):

и тогда встает вопрос что взять в качестве $X(x)$

это -- откровенно тлетворное влияние т.наз. "метода разделения переменных" vs "разложения по СФ"

[Oleg Zubelevich]

[math]$$X''=\lambda X,\quad X'|_{x=0} = X'|_{x=\pi} =0,\quad X=X(x)$$

[tetricka12]

Извините что так позжно пишу , просто не было доступа к сети.
Правильно ли я делаю?

$X(x) = \cos nx $
$V=\sum T(t)X(x)$
решение находится в виде
$ \sum\limits_{n=1}^\infty ( T'(t)\cos nx + n^2 T(t)\cos nx - T(t)\cos nx ) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n \cos nx $
Где $f_n = \int_0^\pi f(x) \cos nx$
Где $f(x) = xt(2-t) +2\cos t$

[Red_Herring]

Да, правильно. Токо $f=f(x,t)$.

[tetricka12]

кажется я в формуле
$f_n = \int_0^\pi f(x) \cos nx$ ошибся
так как я забыл его умножить на $\frac{2}{\pi}$

Ну вообще , сделав эти действия , я нашел
$f_n = \frac{2(2-t)t((-1)^n -1)}{\pi n^2}$
от сюда $f(x,t) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2(2-t)t((-1)^n -1)}{\pi n^2} \cos nx $
и теперь получаю
$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} (T'(t) + T(t) (n^2 - 1) )=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2(2-t)t((-1)^n -1)}{\pi n^2} $

как делать это дальше?
P.s Для всех четных сумма равна 0 , поможет ли мне это как-нибудь?

[Red_Herring]

Red_Herring в сообщении #910975 писал(а):

решение находится в виде

$$ \sum\limits_{n=1}^\infty ( T'(t) + n^2 - T(t) ) \cos nx= \sum\limits_{n=1}^\infty f_n \cos nx $$

В силу единственности разложения

$$ ( T'(t) + n^2 - T(t) ) = f_n (t)$$

Теперь решайте ОДУ

[tetricka12]

решив ОДУ , я получаю
$T(t) = c e^{x- n^2 x}$ для всех четных n , так как если n четная , то правая часть = 0
и http://www5a.wolframalpha.com/Calculate ... 484.&h=100. для всех нечетных n . (y(x) в данном случае , это T(t) , а x это t)
и я даже не знаю , что с этим делать.

[Red_Herring]

Для начала: это не $T(t)$, a $T_n(t)$ и аргумент там $t$, а не $х$! Решайте сами, без Вольфрамов. Кроме того, у Вас линейное ОДУ с правой частью $f_n(t)$. Прежде чем браться за УЧП, выучите ОДУ.

Каким начальным данным данным должно удовлетворять решение и отсюда, каким н.д. должны удовлетворять $T_n$?