СТО. Пружинный маятник.

[oleg_2]

ИСО $K'$ движется относительно неподвижной ИСО $K$ со скоростью $v$, $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$.

Формулы пружинного маятника:
$x=A_0\sin(\omega t)$
$u=A_0 \omega \cos(\omega t)$
$a=-A_0 \omega^2 \sin(\omega t)$
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m_0}}$

Сделаем пружинно-маятниковые часы с собственными характеристиками
$m_0$ -масса грузика;
$A_0$ -амплитуда маятника;
$u_0$ -максимальная скорость маятника, $u_0<<c$;
$a_0$ -максимальное ускорение маятника;
$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m_0}}$ -угловая частота;
$T_0$ -период.
Эти часы называются правильными часами или просто часами.

Сделаем еще неправильные часы, частота которых в $\gamma$ раз меньше, чем у правильных.
Для этого нужно грузик маятника сделать в $\gamma^2$ раз массивнее, чем у правильных часов,
$M_0=\gamma^2 m_0$
$\omega_{M_0}=\omega_0/\gamma$
$T_{M_0}=\gamma T_0$

Пусть одни правильные часы неподвижны в $K'$ и поставлены на попа.
Траектория маятника будет похожа на синусоиду.
Летящие часы идут медленнее неподвижных, но так же, как неправильные часы.


Вычислим ускорения маятников в амплитудных точках.
Формулы преобразований ускорения из учебника
А. Н. Матвеев, "Механика и теория относительности", 2003.
Они применимы, если скорость тела относительно $K'$ равна нулю, $u'=0$.
Скрин вывода в офтопе. Обозначения я изменил, $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$.

$a_x=a_x'/\gamma^3$
$a_y=a_y'/\gamma$

$a'_y=a_0=A_0 \omega_0^2=A_0\frac{k}{m_0}$
$a_y=a'_y/\gamma=A_0 \omega_0^2/\gamma=A_0\frac{k}{\gamma m_0}$
$a_{M_0}=A_0\omega_{M_0} ^2=A_0\frac{k}{M_0}=A_0\frac{k}{\gamma^2 m_0}$

Я надеялся, что масса неправильного маятника будет равна поперечной массе правильного,
но летящего маятника, и что ускорения обоих маятников будут равны. Почему-то не соответствует.
В офтопе скрин вывода формул преобразования ускорения и о поперечной массе из Матвеева.

(Оффтоп)

.

[Munin]

oleg_2 в сообщении #906315 писал(а):

Траектория маятника будет похожа на синусоиду.

В точности будет синусоидой :-)

oleg_2 в сообщении #906315 писал(а):

Я надеялся, что масса неправильного маятника будет равна поперечной массе правильного,
но летящего маятника, и что ускорения обоих маятников будут равны. Почему-то не соответствует.

Ускорения будут равны, массы будут не равны. Причина: пружина тоже из-за преобразования системы отсчёта меняет свои свойства и свою силу.

Рекомендую почитать Ландау-Лифшица "Теория поля" главы 1 и 2. Там объяснено проще, чем здесь. Используются 4-векторы.

[oleg_2]

Нет, Munin, что-то неладно. Непонятно.
Смотрите, собственные ускорения посчитаны по классическим формулам маятника. Преобразование
ускорения посчитано по формулам преобразования, вывод формул есть, они выведены прямо из формул
Лоренца, условие $u'=0$ соблюдено, хотя бы для амплитудных точек. Все эти формулы непричастны
к летящей пружине, а ускорения по этим формулам всё-таки разные получаются.

Кроме того, в учебнике Матвеева утверждается, что $F=F'$. Матвеев упоминает про эксперименты
с частицами, подтверждающими это. А про макротела он пишет, что как еще измерить силу, иначе,
чем посмотрев на показания динамометра, т. е. всё той же пружины.

У меня скачан Ландау-Лифшиц том 2, но я в него еще не заглядывал.

[DimaM]

oleg_2 в сообщении #906383 писал(а):

Кроме того, в учебнике Матвеева утверждается, что $F=F'$.

Это верно для продольной силы. Поперечная меняется.

[oleg_2]

О преобразовании продольной и поперечной сил:

DimaM post906386.html#p906386 писал(а):

Это верно для продольной силы. Поперечная меняется.

В Матвееве утверждается, что и продольная и поперечная силы не меняются.
Я не от себя придумал, из учебника взял.
Но главное сейчас, по-моему, разобраться с ускорением без сил.
Собственные ускорения маятников расчитаны по классическим формулам, подчеркиваю,
собственные. В них нет сомнения. Дальше пока силы не нужны.

[DimaM]

oleg_2 в сообщении #906394 писал(а):

В Матвееве утверждается, что и продольная и поперечная силы не меняются.

Это неверно. Поперечная сила меняется.

Похоже, на сканированной страничке неверно записано преобразование ускорений. В случае, когда продольная скорость в штрихованной системе нулевая, должно быть
$a_y=a'_y/\gamma^2.$
После этого в ваших рассуждениях все сходится.

[oleg_2]

DimaM, Munin, большое спасибо. Я попробовал сам найти дифференциал $du_y$,
(к счастью он нетрудный) и нашел $du_y/dt$, и у меня получилось $a_y=a'_y/\gamma^2$. Получается,
и Вы, и Munin, оказались правы. Прошу простить меня, кто же мог подумать, что формулы
в рамках содержат опечатки. Первая половина вопроса понятна. Остались сила и масса.
Если мне что-то будет непонятно, я спрошу.

[Munin]

Ну, Матвеев в целом хороший учебник, но всё же "общий", а не "теоретический", как Ландафшиц.

[oleg_2]

Дано: формулы преобразования ускорений $a_x=a'_x/\gamma^3$; $a_y=a'_y/\gamma^2$.
Найти силы.

Попытка решения.
Сделаем маятник специальной конструкции с двуплечим Г-рычагом (Рис. 1). Масса рычага
равна нулю, амплитуда мала, грузик движется практически линейно. Рядом поместим обычные
маятники. Очевидно, что все грузики и край рычага у пружины будут двигаться синхронно.
Всё это летит вместе с ИСО $K'$. Можно записать равенства:
$\frac{F_x}{m_x}=a_x$;
$\frac{F_y}{m_y}=a_y$;
$a_x=a_y/\gamma$
откуда

$$\gamma\frac{F_x}{m_x}=\frac{F_y}{m_y} \eqno{(1)}$$

Пусть теперь тамошние наблюдатели возьмут такой же рычаг без грузика и подпружинят его
плечи динамометрами так, чтоб $F'_x=F'_y$, и чтоб рычаг был уравновешен.
Рассмотрим мы, неподвижные наблюдатели, малый поворот рычага (Рис. 2). Мы увидим, что
$dy=\gamma d_x$
$\alpha=\gamma^2\beta$
Условно можно представить летящий рычаг, как сложный механизм с редуктором (Рис. 3).
Коэффициент редукции, передаточное число $K_{\text{редукт}}=\gamma^2$,и горизонтальное
плечо в $\gamma$ раз короче вертикального. Для равновесия должно выполняться:

$$F_x=\gamma F_y \eqno{(2)}$$

Скомбинировав (1) и (2) можно получить еще:
$\gamma\frac{F_x}{m_x}=\frac{F_y}{m_y}$
$\gamma\frac{\gamma F_y}{m_x}=\frac{F_y}{m_y}$
$\frac{\gamma^2 F_y}{m_x}=\frac{F_y}{m_y}$

$$m_x=\gamma^2 m_y \eqno{(3)}$$

Соотношения (2) и (3) не противоречат формулам из учебников (ниже), а толку что? Самих-то
сил нет, и я не знаю, за что зацепиться. Требовалось найти $F_x=f(F'_x)$. В Тейлоре-Уилере
динамика начинается с импульса, с его сохранения, может так и надо.

Прошу ответить на следующий вопрос.
Матвеев пишет, что формулы сил получены на основе экспериментов.
Вот эти формулы (параграф 21, в рамке):

$$\frac{F_n}{w_n}=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$\frac{F_\tau}{w_\tau}=\frac{m_0}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$$

Ландау-Лившиц не ссылаются на эксперименты. Там похожие формулы появляются, как по
волшебству, эти:

$$\frac{d\vec p}{dt}=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{d\vec v}{dt} \eqno{(9,2)} \text{поперечная}$$

$$\frac{d\vec p}{dt}=\frac{m}{(1-\frac{v^2}{c^2})^{3/2}}\frac{d\vec v}{dt} \eqno{(9,3)} \text{продольная}$$

В СТО есть два постулата. Если Матвеев опирается на специальные эксперименты, и эти
эксперименты не для проверки СТО, а для вывода формул СТО, то это еще дополнительные
постулаты.
Вопрос: можно ли всю СТО, с динамикой, вывести из двух постулатов?
Эйнштейн вывел формулу энергии еще будучи служащим патентного бюро.

Проиллюстрировать соотношение $F_x=\gamma F_y$, а вернее $K_{F_x}=\gamma K_{F_y}$, где
$K_{F_x}$ и $K_{F_y}$ -коэффициенты преобразования сил, можно еще на таком простом примере.
В ИСО $K'$ есть перекладина, на которой лежит шарик, и которая под углом к оси $x$.
В начальный момент перекладина и шарик неподвижны в $K'$, и ускорение перекладины
перпендикулярно ей самой. Шарик будет лежать на перекладине в равновесии, сила реакции
опоры к нему будет приложена перпендикулярно.

Теперь посмотрим на это, как наблюдатели ИСО $K$ (на рисунке справа). Нам приятнее,
если сила реакции снова будет перпендикулярна перекладине, а то нам будет невдомёк,
как перекладина подействует на шарик наискосок, если он свободно может катиться по ней?

[Munin]

oleg_2 в сообщении #907467 писал(а):

Матвеев пишет, что формулы сил получены на основе экспериментов.

Ну, это, мягко говоря... на основе экспериментов и их интерпретаций.

oleg_2 в сообщении #907467 писал(а):

Ландау-Лившиц не ссылаются на эксперименты. Там похожие формулы появляются, как по волшебству

А вот с этим "волшебством" вам бы хорошо разобраться. Хорошенько. Надеюсь, ЛЛ-1 вы читали, и объяснения на языке действия понимаете.

oleg_2 в сообщении #907467 писал(а):

Вопрос: можно ли всю СТО, с динамикой, вывести из двух постулатов?

Разумеется, нет. Динамику тоже из чего-то надо выводить. Но её можно вывести из "постулата", что она устроена по принципу наименьшего действия. Это уже фиксирует очень многое, в частности, формулы для 4-силы, 4-импульса и закона Ньютона. А вот конкретные силы придётся ещё уточнять - когда надо будет.

[oleg_2]

Munin, нет, я не читал ЛЛ-1. Может Вы меня не за того принимаете. Я не школьник и
не студент, я обыватель, интересующийся азами СТО. По-моему, слишком сложно, не одолеть.
Мне учебник Матвеева нравится.

Приведу два пункта в опрадание темы маятников.
Во-первых, простая задача про маятники помогла мне узнать истинную формулу преобразования
ускорений. Это ведь тоже важно.
Во-вторых, приведу цитату из Фейнмана (храповик и собачка):

Фейнман писал(а):

Существуют, конечно, сложные, покоящиеся на законах Ньютона математические доказательства
ограниченности количества работы, которое можно получить, когда тепло перетекает с одного
места в другое; но очень непросто сделать эти доказательства элементарными. Короче говоря,
мы не понимаем их, хотя можем проследить выкладки.

Попробую скачать ЛЛ-1 и заглянуть в него. Страшно.
Но всё равно спасибо за ответ.

[Munin]

oleg_2 в сообщении #907533 писал(а):

Munin, нет, я не читал ЛЛ-1. Может Вы меня не за того принимаете. Я не школьник и
не студент, я обыватель, интересующийся азами СТО. По-моему, слишком сложно, не одолеть.
Мне учебник Матвеева нравится.

А.

В таком случае, возьмите и прочитайте. Это не сложно, и вам понравится. СТО - очень простая штука, и классическая механика - тоже.

oleg_2 в сообщении #907533 писал(а):

Приведу два пункта в опрадание темы маятников.
Во-первых, простая задача про маятники помогла мне узнать истинную формулу преобразования
ускорений. Это ведь тоже важно.

Ну, это, конечно, вариант добраться до цели. Но не самый простой.

А вообще, подумайте, в физике десятки разных величин. Для каждой из них есть свой закон преобразования. Ну освоили вы ускорения - а дальше что? Нужен систематический метод. Для этого нужен как раз ЛЛ-2: знать общие законы преобразования для 4-скаляров, 4-векторов и 4-тензоров, и знать, как выяснять 4-мерные свойства знакомых 3-мерных величин.

oleg_2 в сообщении #907533 писал(а):

Во-вторых, приведу цитату из Фейнмана...:

Фейнман писал(а):

...Короче говоря, мы не понимаем их, хотя можем проследить выкладки.

Добрый Фейнман в своём репертуаре :-) Это он произносит для успокоения студентов. На самом деле, проследить выкладки - это понимание и есть. Надо привыкать к тому, что есть новый тип понимания - не интуитивно-бытовой, а абстрактно-математический. Развивать в себе такое понимание, тренировать его, и именно с этим пониманием подходить к достижениям теоретической физики. Потому что современная физика - не меньше чем 90 % от всей физики вообще - именно на этом понимании и основана.

oleg_2 в сообщении #907533 писал(а):

Попробую скачать ЛЛ-1 и заглянуть в него. Страшно.

Глаза боятся, а руки делают.
Не так страшен чёрт, как его малюют.

И самое важное: многие учебники на самом деле вообще не страшные, а интересные, увлекательные, доходчивые и добрые. Ландау - не зря любим поколениями. Если бы он был просто скучен и заумен, то заслужил бы гораздо меньше славы.